Я немного переформулирую Вашу задачу.
Дано: три окружности

,

,

пересекаются в точке

. Кроме того, эти окружности попарно пересекаются в точках

,

,

, лежащих на одной прямой.
(Подробнее)
То есть

и

пересекаются в точке

,

и

пересекаются в точке

,

и

пересекаются в точке

.
Доказать: центры окружностей

,

,

и точка

лежат на одной окружности

.
Проведём из точки

диаметры всех трех окружностей. Тогда нужно доказать, что точка

и другие концы всех диаметров лежат на одной окружности

.
В такой форме это утверждение обратно к
теореме Сальмона (Salmon):
Если через точку

окружности

проведены три произвольные хорды, на которых как на диаметрах построены окружности

,

,

, то эти окружности попарно пересекаются вторично в трёх точках

,

,

, лежащих на одной линии.
Возможно, Ваше утверждение доказывается так же, как теорема Сальмона (я не знаю, как), только наоборот.