Funny problem

[ins-]

It is given a circle k(O) and a chord AB. P and Q are points from AB and k respectively. k1(O1) and k2(O2) are circumcircles of the triangles APQ and BPQ respectively. Prove that O, O1, O2 and Q lies on a circle.

What I would like to know is it a well known problem and how it can be solved?

[svv]

Я немного переформулирую Вашу задачу.

Дано: три окружности $k$, $k_1$, $k_2$ пересекаются в точке $Q$. Кроме того, эти окружности попарно пересекаются в точках $A$, $B$, $P$, лежащих на одной прямой.

(Подробнее)

То есть
$k$ и $k_1$ пересекаются в точке $A$,
$k$ и $k_2$ пересекаются в точке $B$,
$k_1$ и $k_2$ пересекаются в точке $P$.

Доказать: центры окружностей $k$, $k_1$, $k_2$ и точка $Q$ лежат на одной окружности $K$.

Проведём из точки $Q$ диаметры всех трех окружностей. Тогда нужно доказать, что точка $Q$ и другие концы всех диаметров лежат на одной окружности $K$.

В такой форме это утверждение обратно к теореме Сальмона (Salmon):
Если через точку $Q$ окружности $K$ проведены три произвольные хорды, на которых как на диаметрах построены окружности $k$, $k_1$, $k_2$, то эти окружности попарно пересекаются вторично в трёх точках $A$, $B$, $P$, лежащих на одной линии.

Возможно, Ваше утверждение доказывается так же, как теорема Сальмона (я не знаю, как), только наоборот.

[ins-]

A man sent me a solution to my problem. It is a very short solution. What is the level of difficulty of my problem? They said me the problem I posted is already discovered by someone else but they didn't say me where they saw it. Is it a beautiful olympiad problem?

[Хорхе]

Инверсия с центром $Q$ (которая, кстати, сильно напрашивается) превращает эту задачу в довольно тривиальную (возможно, этот факт даже носит чье-то имя): Основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника из точки на его описанной окружности, лежат на одной прямой.

Я бы такую задачу на олимпиаде не давал. Разве что на олимпиаде по применению инверсии

[ins-]

It is possible the problem to be solved without inversion. The line you mention is known as Simpson line. In the earlier years of bulgarian math olympiad there were problems that can be solved using inversion and they are solved in the book about it using inversion.