|
Ну честно говоря, я вот не помню, чтобы нам в школе об этом говорили. (Хотя это, конечно, не оправдание).
Я бы рассуждал так:
Обозначим наше число через x и рассмотрим сечение A|A' в области рациональных чисел, определяющее это число. Покажем, что в нижнем классе нет наибольшего числа. Пусть r - некоторое рациональное число, принадлежащее нижнему классу. Тогда поскольку оно меньше x, в его десятичном разложении 0.y1y2... и так далее, найдется такой десятичный знак yn, который будет меньше соответствующего десятичного знака xn в разложении нашего числа. Пусть этот десятичный знак есть цифра, стоящая а определенном разряде определенного натурального числа, образующего наше искомое число x. Тогда если она не стоит в разряде единиц, увеличение числа y так, чтобы новое увеличенное число продожало оставаться меньше x, не представляет труда. Для этого достаточно соответствующие десятичные разряды числа y заменить другим натуральным числом, которые больше искомых, но меньше тех, которые стоят на соответствующих местах у числа x. (Это всегда возможно, так как здесь задача сводится к выбору натурального числа между двумя данными, разница между которыми, по меньшей мере десяь). Аналогично это можно сделать и в том случае, когда рассматриваемый нами десятичный знак стоит в разряде единиц, но разница между ними больше 1 (от 2 и далее). Здесь мы тоже можем вставить новое рациональное число. Ну разумеется и на этом оборвать разложение. Тогда, легко видеть, что новое построенное рациональное число будет больше y и все также меньше x. Ну и, наконец, случай, когда такой разряд падает на единицы, в некотором натуральном числе, участвующем в образовании числа x. В этом случае новое рациональное число мы получаем просто, прописыванием этого натурального числа на соответствующие места в десятичных разрядах числа y и с последующеим еще приписыванием единицы. Также ясно, что построенное таким образом число больше исходного y b продолжает быть меньшим числа x.
Таким образом мы видим, что в нижнем классе сечения в области рациональных чисел нет наибольшего. Аналогично показываем, что в верхнем классе этого сечения нет наименьшего. А, следовательно (Фихтенгольц, том 1, Введение), указанное сечение в области рациональных чисел определяет иррациональное число.
Пожалуйста, поправьте, если есть ошибки в рассуждении.
|
.
