2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить число
Сообщение11.11.2006, 16:43 


21/06/06
1721
Если записать весь натуральный ряд, а затем перед первой единицей поставить десятичную точку, а после стереть все запятые, разделяющие числа натурального ряда, то можно ли получить точное значение такого числа?

Кстати а действительно ли, что данное число будет иррациональным?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 16:47 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
То, что получается иррациональное число, дают доказать и школьникам. На самом деле это число является даже транцендентным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 00:49 


21/06/06
1721
Ну честно говоря, я вот не помню, чтобы нам в школе об этом говорили. (Хотя это, конечно, не оправдание).

Я бы рассуждал так:
Обозначим наше число через x и рассмотрим сечение A|A' в области рациональных чисел, определяющее это число. Покажем, что в нижнем классе нет наибольшего числа. Пусть r - некоторое рациональное число, принадлежащее нижнему классу. Тогда поскольку оно меньше x, в его десятичном разложении 0.y1y2... и так далее, найдется такой десятичный знак yn, который будет меньше соответствующего десятичного знака xn в разложении нашего числа. Пусть этот десятичный знак есть цифра, стоящая а определенном разряде определенного натурального числа, образующего наше искомое число x. Тогда если она не стоит в разряде единиц, увеличение числа y так, чтобы новое увеличенное число продожало оставаться меньше x, не представляет труда. Для этого достаточно соответствующие десятичные разряды числа y заменить другим натуральным числом, которые больше искомых, но меньше тех, которые стоят на соответствующих местах у числа x. (Это всегда возможно, так как здесь задача сводится к выбору натурального числа между двумя данными, разница между которыми, по меньшей мере десяь). Аналогично это можно сделать и в том случае, когда рассматриваемый нами десятичный знак стоит в разряде единиц, но разница между ними больше 1 (от 2 и далее). Здесь мы тоже можем вставить новое рациональное число. Ну разумеется и на этом оборвать разложение. Тогда, легко видеть, что новое построенное рациональное число будет больше y и все также меньше x. Ну и, наконец, случай, когда такой разряд падает на единицы, в некотором натуральном числе, участвующем в образовании числа x. В этом случае новое рациональное число мы получаем просто, прописыванием этого натурального числа на соответствующие места в десятичных разрядах числа y и с последующеим еще приписыванием единицы. Также ясно, что построенное таким образом число больше исходного y b продолжает быть меньшим числа x.

Таким образом мы видим, что в нижнем классе сечения в области рациональных чисел нет наибольшего. Аналогично показываем, что в верхнем классе этого сечения нет наименьшего. А, следовательно (Фихтенгольц, том 1, Введение), указанное сечение в области рациональных чисел определяет иррациональное число.

Пожалуйста, поправьте, если есть ошибки в рассуждении.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 03:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Всякое рациональное число разлагается в периодическую запись. Очевидно, что данное число не имеет периода (достаточно дойти до достаточно больших чисел).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 06:16 


21/06/06
1721
Я просто в определение рационального и иррационального числа кладу определение из Фихтенгольца. Т.е рациональные - это суть те, которые могут быть представлены отношением двух целых и ноль, а затем сечения в области рациональных чисел, при этом иррациональные - это те, которые представляются сечениями, у которых в верхнем классе нет наименьшего, а в нижнем - наибольшего.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 07:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Да кто бы спорил. Но доказывать все «от определения» — это как-то … странно. Для этого и существуют теоремы, чтобы уверенно стоять (и подпрыгивать) на плечах и головах гениев :) .

Если Вас интересует доказательство периодичности записи для рационального числа — это законный вопрос, но и он решается на школьном уровне (малая теорема Ферма). Дальше проще всего плясать от периодичности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить число
Сообщение13.11.2006, 13:09 
Заслуженный участник


05/09/05
515
Украина, Киев
Sasha2 писал(а):
Если записать весь натуральный ряд, а затем перед первой единицей поставить десятичную точку, а после стереть все запятые, разделяющие числа натурального ряда, то можно ли получить точное значение такого числа?


Непонятно, что в данном случае означает "точное значение такого числа".
Тем не менее вот статья, в которой описывается число \Omega, имеющее бесконечное число неприводимых битов:
Грегори Чейтин.Пределы доказуемости.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group