Критерии случайности

[hurtsy]

Lesobrod в сообщении #396935 писал(а):

это всего навсего пузырёк в кипящем вакууме.

Кипящий вакуум, должно быть очень жесткое излучение. А вот посмотрите картинку по запросу Туманность Пузырь. Не очень далеко от Солнечной системы. С уважением,

[Lesobrod]

Перечитал Кнута, и понял, что изобретать уже изобретённое чег'товски
пг'иятно. "Изобретённое" мною определение - это $\infty$-распределённая последовательность.

[hurtsy]

bot в сообщении #396705 писал(а):

А правду говорят, что неизвестно, встречается ли девятка в записи числа $\pi$ конечное или бесконечное число раз?Если вдруг окажется число вхождений девятки конечным, то какая же это случайная последовательность?

Да, говорят. Только, имхо, имеется в виду бесконечное вхождение конечных последовательностей девяток. Если будет бесконечная последовательность девяток то это число $-$ рациональное приближение $\pi$, а никак не $\pi$. То есть в состав $\pi$ входит любая случайная конечная последовательность цифр, очень похоже на "кварки для мистера Марка". С уважением,

[Lesobrod]

hurtsy в сообщении #397156 писал(а):

То есть в состав $\pi$ входит любая случайная конечная последовательность цифр, очень похоже на "кварки для мистера Марка".

Для меня в своё время стало просто откровением, что Хаос - это не беспорядок, а нечто,
где представлены все виды порядка.
Совсем не трудно на минуту стать ребёнком, и поразится тому, что,
например, где-то "вдали разложения" $\pi$ обязательно встретится последовательность из 777 девяток,
идущая сразу за 999-ю семёрками...
И она встретится бесконечное число раз!

[В.О.]

То определение, которое Вы написали в начале, это определение нормальности числа. См. Кейперс, Нидеррейтер, Равномерное распределение последовательностей, стр. 80. Нормальность числа можно понимать как независимость появления всех цифр в его записи.
Получается, что выше все говорили об одном и том же. Включая Кнута.

[hurtsy]

В.О. в сообщении #397264 писал(а):

Нормальность числа можно понимать как независимость появления всех цифр в его записи.

Хорошее свойство. Может быть, кто то доказал, что $\pi$ обладает таким свойством? Тогда у $\pi$ должна встретиться любая конечная последовательность цифр. Наверняка существуют трансцендентные числа не обладающие нормальностью. Это в двоичной системе числа в которых "одинокие" единички разделяют различной длины последовательности нулей. С уважением,

[В.О.]

Про е, пи, корень из 2 не известно являются ли они нормальными. Но это информация 1974 года.

[Lesobrod]

Ну, Mathworld довольно авторитетный и обновляемый ресурс.
Так что нормальность трансцендентных чисел пока вообще не доказана.
(Информация 2003 г.)
А мой критерий, повторюсь, по Кнуту - это $\infty$-определённая последовательность;
если таковой является любая $b$-ичная запись числа, то оно абсолютно нормально. По соглашению такие последовательности считаются и случайными, если они удовлетворяют
теоремам теории вероятностей, а для неравномерных распределений - $\chi^2$-критерию.

[В.О.]

У меня под рукой нет Кнута, но судя по всему, бесконечно-определенная последовательность это и есть последовательность знаков в разложении нормального числа.
Разве Ваше определение не совпадает с этим http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number ?

[bot]

(Оффтоп)

hurtsy в сообщении #397156 писал(а):

Да, говорят.

Только не в лотерею, а в преферанс, и не выиграл, а проиграл.
Впрочем это не важно - всё равно не срастается у меня понятие случайной последовательности с той, у которой любой член вычисляется алгоритмически.

Впрочем и с этим я уже опоздал - со случайности перерешли к нормальности.

[Руст]

В.О. в сообщении #397392 писал(а):

У меня под рукой нет Кнута, но судя по всему, бесконечно-определенная последовательность это и есть последовательность знаков в разложении нормального числа.
Разве Ваше определение не совпадает с этим http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number ?

В определении пары, триплеты и т.д. излишне. Так как они уже соответствуют распределении цифр в базисе (основании) $b^2$, $b^3$ и т.д.
В то же время отсутствует мера отклонения частоты для взятых подряд цифр от предельной частоты.

[В.О.]

Не очень понятно. Вот, например, выше Вы привели вариант закона больших чисел с некой оценкой скорости сходимости. Я такой оценки не знаю, но, видимо Вы знаете о чем говорите. Но зачем сейчас, вообще, нужно указывать скорость сходимости? Для того, чтобы последовательность была случайной (что, видимо, эквивалентно нормальности) необходимо (но, наверное, не достаточно), чтобы выполнялся ЗБЧ с любой скоростью сходимости.

-- Вт янв 11, 2011 02:02:13 --

Да, и еще, на всякий случай. Вот здесь http://mathworld.wolfram.com/news/2001-10-04/normal/ в первой строчке последовательность знаков нормального числа называется истинно случайной.

[Lesobrod]

Руст в сообщении #397473 писал(а):

В определении пары, триплеты и т.д. излишне. Так как они уже соответствуют распределении цифр в базисе (основании) $b^2$, $b^3$ и т.д.

Согласен, это точно. Просто я старался сформулировать "программируемое" определение. А на Wolfram гораздо проще образовывать и сравнивать пары, тройки (Tuples), чем возиться с системами счисления.
И всё таки очень жду несколько слов об энтропии. Численный наблюдения показывают, например, следующее (вычислял по приведённому выше определению для троек цифр):
$h(\pi)>h(\mathbb{P} mod 17)\simeq h(\mathfrak{Feug})>h(0.(123456789))$.
Здесь $\mathbb{P} mod 17$- остатки от деления простых чисел на 17, $\mathfrak{Feug}$- округленные значения, даваемые последовательностью Фейгенбаума в области хаоса.

[Руст]

В.О. в сообщении #397938 писал(а):

Не очень понятно. Вот, например, выше Вы привели вариант закона больших чисел с некой оценкой скорости сходимости. Я такой оценки не знаю, но, видимо Вы знаете о чем говорите. Но зачем сейчас, вообще, нужно указывать скорость сходимости? Для того, чтобы последовательность была случайной (что, видимо, эквивалентно нормальности) необходимо (но, наверное, не достаточно), чтобы выполнялся ЗБЧ с любой скоростью сходимости.

-- Вт янв 11, 2011 02:02:13 --

Да, и еще, на всякий случай. Вот здесь http://mathworld.wolfram.com/news/2001-10-04/normal/ в первой строчке последовательность знаков нормального числа называется истинно случайной.

Нормальные числа страдают тем, что пока никто не может предъявить хотя бы одно такое число. Таким образом теория обрывается сразу после определения. То, что я определял, относиться к случайности последовательности цифр. Если цифры являются реализациями одной и той же случайной величины, то частота - вероятность стремится к нулю примерно обратно пропорцианально квадратному корню от n. Так как в определении нет всех систем счисления, то не сложно предъявить такие числа. Подозреваю, что все числа, за исключением меры 0 имеют случайную последовательность цифр как в моем определении.

[В.О.]

Примеры нормальных чисел есть, но они имеют искусственный характер. Есть примеры и абсолютно нормальных (см. Кейперс, Нидеррейтер). Под нормальностью подразумевается нормальность хотябы по одному основанию. Например, десятичному.
В принципе, идея понятна. Из-за сложности нормальных чисел ослабить определение случайности последовательности. Но в Вашем определении все равно присутствуют вероятности конечных последовательностей как произведения вероятностей каждого знака (независимость), как и в нормальных числах. Но к этому добавляется еще и скорость сходимости. Т.е. определение стало не проще, а сложнее. Хотя, скорее всего, осталось эквивалентно нормальности.
Независимость обеспечивает некое перемешивание знаков в последовательности. Нужно ослаблять определение независимости.