1) Множество в локально выпуклом пространстве ограничено, если на нём ограничена каждая полунорма из системы полунорм, определяющих топологию.
В

топология определяется системой полунорм

, где
![$K_n=[\frac{1}{n+2},1-\frac{1}{n+2}]$ $K_n=[\frac{1}{n+2},1-\frac{1}{n+2}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/a/86ade87228d403bad2f46ca77139e08582.png)
,

.
Базис окрестностей нуля образуют множество вида

, поэтому достаточно доказать, что такие множества не ограничены для любого

. Понятно, что уже

не ограничена на

.
2) То, что

обладает свойством Гейне-Бореля, означает, что из любой ограниченной послеовательности

можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к функции

. Ограниченность

означает, для любого

и на любом компакте

равномерно ограничены производные

. Несколько раз применяя теорему Арцела-Асколи и канторовский диагональный процесс, сходящуюся подпоследовательность можно извлечь.
В

возьмем последовательность

. Она ограничена. Но подпоследовательность, сходящуюся в

извлечь нельзя, так как

-тая производная, пусть это будет

, не содержит равномерно сходящейся внутри

подпоследовательности.