пространства дифференцируемых функций

[moscwicz]

Во всех пространствах ниже, введена топология компактной сходимости.

1) Совсем тривиальная задача. Доказать, что $C(0,1)$ ненормируемо.

2) Почти тривиальная задача. Доказать, что $C^k(0,1)$ неизоморфно $C^\infty(0,1)$

[Padawan]

1) Не существует ограниченной окрестности нуля, т.е. не выполнен критерий Колмогорова.
2) Пространство $C^\infty(0,1)$ обладает свойством Гейне-Бореля (так названо в Рудине), т.е. ограниченное множество предкомпактно, а пространство $C^k(0,1)$ не обладает.

Завтра напишу обоснование.

[moscwicz]

Ну да, как я и обещал, задачи тривиальные. А критерий Колмогорова я даже и ввиду не имел.

[Padawan]

1) Множество в локально выпуклом пространстве ограничено, если на нём ограничена каждая полунорма из системы полунорм, определяющих топологию.
В $C(0,1)$ топология определяется системой полунорм $p_n(f)=\max\limits_{x\in K_n} |f(x)|$, где $K_n=[\frac{1}{n+2},1-\frac{1}{n+2}]$, $n=1,2,\ldots$.
Базис окрестностей нуля образуют множество вида $U_N=\{f\in C(0,1)| p_N(f)<\frac 1N\}$, поэтому достаточно доказать, что такие множества не ограничены для любого $N$. Понятно, что уже $p_{N+1}$ не ограничена на $U_N$.
2) То, что $C^\infty(0,1)$ обладает свойством Гейне-Бореля, означает, что из любой ограниченной послеовательности $f_n\in C^\infty(0,1)$ можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к функции $f\in C^\infty (0,1)$. Ограниченность $\{f_n\}$ означает, для любого $m=0,1,2,\ldots $ и на любом компакте $K\subset (0,1)$ равномерно ограничены производные $f_n^{(m)}$. Несколько раз применяя теорему Арцела-Асколи и канторовский диагональный процесс, сходящуюся подпоследовательность можно извлечь.
В $C^k(0,1)$ возьмем последовательность $\{\frac{1}{n^k} \sin nx\}$. Она ограничена. Но подпоследовательность, сходящуюся в $C^k$ извлечь нельзя, так как $k$-тая производная, пусть это будет $\{\sin nx\}$, не содержит равномерно сходящейся внутри $(0,1)$ подпоследовательности.

[id]

А тут под топологией компактной сходимости подразумевается ЛВП с набором полунорм $p_N (f) = \max \{|D^{\alpha} f(x)|: x \in K_N, \alpha \leq N\}$?
Почему-то казалось, что это классическая сходимость, а компактная - просто супремумы по компактам, без производных. И вот в этом случае аргументация выше вроде как не работает.