Вариация кривых

[Brukvalub]

Речь идет не о вариации кривой, а о вариации функции вдоль кривой-это разные понятия.

[Falex]

Я понимаю.Все же принцип аргумента здесь не сработает!!!

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

Ну и чему будет равна вариация той функции с аргументом,если z_1 и z_2 лежат внутри квадрата.Явно не нулю!

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Я понимаю.Все же принцип аргумента здесь не сработает!!!

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

Ну и чему будет равна вариация той функции с аргументом,если z_1 и z_2 лежат внутри квадрата.Явно не нулю!

Не могли бы Вы подтвердить свое возражение вычислениями?

[Falex]

Куда перейдет квадрат при таком дробно-линейном отображении?:$w = \frac{{z - z_1 }}{{z - z_2 }}$
Эт может понадобиться для подсчета вариации моей функции вдоль квадрата.

P.S:еще есть специалисты по вариации,чтобы разрешить наш спор?

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

спор по подсчету вариации функции вдоль квадрата,сектора,эллипса (с параметрами a,b).

Добавлено спустя 2 часа 46 минут 50 секунд:

Мож кто ссылочки кинет не разбор данных примеров где-нибудь в Интернете.

[Brukvalub]

Я даже не знаю, чем Вам можно еще помочь. Сообщите, в каком контексте Вам встретилась запись про вариацию аргумента- тогда, возможно, мне станут понятнее Ваши трудности.

[Falex]

Вопрос возник сам собой.Где-то было показано,что такая вариация аргумента для окружности или дуги равна $2\pi$.
Действительно,если взять две точки $z_1,z_2$(а именно при этом условии будет достигаться sup),и обозначив за эпсилон уголок $z_1--z=a--z_2$ (a - первый конец дуги),то пробегая точкой z по дуге (уголок будет увеличиваться),получим в конкретный момент времени,что уголок будет равен $\pi$.Затем уголок опять будет увеличиваться и мы дойдем до угла $2\pi - \delta$.Значит,вариация равна $2\pi - \epsilon - \delta$.Ну а sup будет равен $2\pi$.Или можно рассуждать по-другому.Возьмем дробно-линейное отображение (то,что стоит под аргументом).Данная дуга переведется в часть окружности.Теперь зафиксировав начало координат,будем двигать z по этой кривой.Получим тож самое.
А вот с квадратом незадача:не знаю как здесь поступить.
С эллипсом можно рассуждать так:возтмем 2 точки внутри эллипса.Проведем окружность через эти точки,причем она должна перечесь и
a (т.е. как бы max по оси X...забыл название этого параметра).Уголок (T_1) между $z_1 -- a -- z_2$ обозначим за эпсилон (он будет маленький).Будем проводить окружности концентрические (она проходят через 2 точки заданные) и...мы каснемся эллипса (один или 2 раза).Уголок (T_2) между $z_1 -- T -- z_2$ (T-точка касания) будет большим.Т.е. в правой части эллипса (например)получим вариацию $4(T_2-T_1)$.Одна двойка взялась оттуда,что может быть 2 точки соприкосновения (в чем я сильно сомневаюсь) и вторая двойка:потому что можно провести окружность,которая пересекает эллиск в 4-х точках и там также повятся такие уголочки.
УХ
Но еще есть и левая часть эллипса.А еще есть и та частьдо куда кружочки "достать" не могут!
Мне кажется,что ответ должен быть типа такого $2\pi\frac{b}{a}$.Может даже с каким-то коэффициентом.

P.S:ну лучше сначала с квадратом разобраться.К нему ж тоже можно применить дробно-линейное отображение.А дальше:тупик

[Brukvalub]

Давайте опираться на следующие два факта:
1. Рассматриваемая вариация аргумента аддитивна относительно разбиений кривой.
2. Если аргумент изменяется на участке кривой монотонно, то его вариация на этом участке равна разности ( или модулю разности?) его значений в концах участка.
Вы сами подали хорошую идею: рассмотреть для квадрата его образ как результат действия дробно-линейного отображения. Стороны квадрата перейдут в дуги окружностей, которые ограничат некоторую область. От расположения точек z_1 и z_2 зависит, будет ли точка 0 лежать внутри этой области, или вне. При движении по дуге окружности аргумент комплексного числа- движущийся точки изменит характер монотонности своего поведения конечное число раз, поэтому для квадрата совсем просто вычислить искомую Вами величину вариации. Теперь осталось только разобраться: под вариацией монотонной функции Вы понимаете изменение функции , то есть ее приращение вдоль кривой, или модуль ее приращения?

[Falex]

Цитата:

аддитивна относительно разбиений кривой.

Прокомментируйте.

Цитата:

Если аргумент изменяется на участке кривой монотонно

Да.Это справедливо для окружности или дуги,но не для эллипса например.Кстати,для квадрата,отрезка,сектора,угла ведь тоже монотонности не будет!

Цитата:

модуль ее приращения?

да.Модуль.

Цитата:

Стороны квадрата перейдут в дуги окружностей, которые ограничат некоторую область.

Перейдут в дуги.Это понятно.А объединение дуг будет представлять собой окружность?или не обязательно?Так.Допустим,что точка $z_1$ внутри квадрата,а другая снаружи.Что тогда?И если они лежат наоборот.

[Brukvalub]

Если вариация аргумента рассматривается как верхняя грань суммы модулей, то принцип аргумента, конечно, не работает, и я не приложу ума, в каких исследованиях рассматриваемая Вами величина может быть нужна - у нее не видно геометрического смысла. А считать ее можно так: разбейте кривую на конечное число участков, на каждом из которых аргумент ведет себя монотонно, вычислите модуль разности значений аргумента на концах каждого участка и сложите полученные числа - получите ответ. Это и означает аддитивность относительно разбиений кривой.

Цитата:

А объединение дуг будет представлять собой окружность?или не обязательно?

Не обязательно.

[Falex]

Цитата:

Не обязательно.

А какая-же замкнутая фигура может получиться?МОжет нарисуете.

Цитата:

разбейте кривую на конечное число участков, на каждом из которых аргумент ведет себя монотонно, вычислите модуль разности значений аргумента на концах каждого участка и сложите полученные числа - получите ответ.

Это Вы сейчас про квадрат говорите после отображения?Приведите пример,когда точки лежат по-разные точки.Что тогда получится.Мне просто интересно.

[Brukvalub]

Объяснения я Вам дал, а уж экпериментировать извольте сами, по-моему, это теперь не составляет труда.

[Falex]

Так.Точка $z_2$ (как и в принципе $z_1$) не лежит на сторонах квадрата.Поэтому,отрезки перейдут в дуги.

Цитата:

Стороны квадрата перейдут в дуги окружностей, которые ограничат некоторую область.

Как это можно изобразить?!

Цитата:

От расположения точек z_1 и z_2 зависит, будет ли точка 0 лежать внутри этой области, или вне.

А это как учесть?

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Так.Точка $z_2$ (как и в принципе $z_1$) не лежит на сторонах квадрата.Поэтому,отрезки перейдут в дуги.

Цитата:

Стороны квадрата перейдут в дуги окружностей, которые ограничат некоторую область.

Как это можно изобразить?!

Цитата:

От расположения точек z_1 и z_2 зависит, будет ли точка 0 лежать внутри этой области, или вне.

А это как учесть?

1.Изобразите, как подобие квадрата, стороны которого превратились в дуги разной длины - получится некий криволинейный четырехугольник.
2. Области, на которые замкнутая кривая (например, квадрат) разделяет комплексную плоскость, переходят в области, разделяемые образом кривой. Значит, достаточно определить образ хотя бы одной точки из каждой области в прообразе. Остается учесть, что Ваше отображение переводит z_1 в нуль, и z_2 в бесконечность.

[Falex]

Для квадрата этих областей будет две.
Вообщем я взял конкрентный пример.Квадрат с вершинами: A={9,2},B={9,5},C={6,5},D={6,2}.И точки z_1={8,3}, z_2={4,4}.
Для каждой вершины квадрата подсчитал отображение
$w = \frac{{z - z_1 }}{{z - z_2 }}$:
A: $w = \frac{7}{{21}} - \frac{3}{{21}}i$
B: $w = \frac{7}{{26}} + \frac{9}{{26}}i$
C: $w = \frac{-2}{{5}} + \frac{6}{{5}}i$
D: $w = \frac{-1}{{4}} - \frac{3}{{4}}i$
Вот картинка (осталось соединить точки дугами):
http://slil.ru/23392079

Как дальше рассуждать?

Добавлено спустя 9 минут 48 секунд:

Слушайка.Она ведь у нас аддитивная.Т.е. берем каждую дугу.Для нее вариация 2пи.Значит для квдрата будет 4*2пи.
Так?

[Brukvalub]

Попробуйте использовать для численных экспериментов какой-либо математический пакет - он Вам сам нарисует картинки. А для дуги вариация далеко не всегда равна 2пи.