Фактор группа

[Bolopak]

$G=4Z=<4>=${$...,-8,-4,0,4,8...$}
$H=12Z=<12>=${$...,-24,-12,0,12,24...$}
Теперь нужно найти фактор группу $G/H=4Z/12Z$.
Я это делаю по формуле $G/H=${$gH | g \in G$}. Т.е. каждый элемент из $H$ складываю с каждым элементом из $G$. В итоге у меня получается, что $G/H=G$! Но мне кажется, что это неправильно, т.к. $4Z/12Z$ изоморфна $Z/3Z$, т.е. в ней должно быть 3 элемента.

[Xaositect]

Bolopak в сообщении #209831 писал(а):

В итоге у меня получается, что $G/H=G$!

А почему у вас так получается?

[Bolopak]

Xaositect писал(а):

А почему у вас так получается?

$G/H=4Z/12Z=${$...,-32,-28,-24,-20,-16,-12,-8,-4,0,4,8,...$}$=<4>$. Вот так получается если сложить элементы этих групп.

[Xaositect]

Вы неверно понимаете определение.
Фактор-группа группы $G$ по нормальной подгруппе $H$, как Вы уже написали, есть множество смежных классов по подгруппе $H$:

$$G/H = \{gH | g\in G\}$$

Это определение не означает того, что нужно складывать все элементы группы.

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

Элементами группы $G/H$ будут подмножества $G$
например, элементом $G/H$ будет $4H = \{\dots,-20,-8,4,16,28\dots\}$

[gris]

Я это делаю по формуле $G/H=${$gH | g \in G$}. Т.е. каждый элемент из $H$ складываю с определённым элементом из $G$.

[Bolopak]

Xaositect,
спасибо. понятно

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

Re: Фактор группа

gris писал(а):

Я это делаю по формуле $G/H=${$gH | g \in G$}. Т.е. каждый элемент из $H$ складываю с определённым элементом из $G$.

Нене. Не надо ничего складывать. В последнем посте от Xaositect написано как надо =)

[bot]

Bolopak в сообщении #209839 писал(а):

Нене. Не надо ничего складывать.

Почему нене, именно складывать - gris просто уточняет как строится каждый элемент фактор группы. В аддитивном случае и для смежного класса употребляется аддитивная запись $g+H$, а не $gH$.
Так что, к примеру, $4+H=\{4+h | h\in H\}=\{ \dots , -20, -8, 4, 16, 28, \dots \}$

[Профессор Снэйп]

Bolopak писал(а):

...$4Z/12Z$ изоморфна $Z/3Z$, т.е. в ней должно быть 3 элемента.

Совершенно верно! Можно и изоморфизм указать в явном виде

$$ 4z + 12\mathbb{Z} \mapsto z + 3\mathbb{Z} $$

[Delphin100]

Задача:
Является ли множество невырожденных верхне-треугольных матриц 2-го порядка нормальным делителем в группе невырожденных матриц второго порядка? Если является, то построить фактор-группу, если нет, то описать правое фактор-множество.

Моё решение:
1. То что это подгруппа проверил.
2. Не является нормальным делителем.
3. Нужно построить фактор-множество, тут встал вопрос: "как разбить на не пересекающиеся все классы?"

Попробовал записать как ${AH$ и $BH$ где $A = ((1,a);(b,c)) B = ((0,a);(b,c))}$
Во втором оказалось что смежные классы равны. Изменил на ${AH$ и $BH$ где $A = ((1,a);(b,c)) B = ((0,1);(2,3))}$
Тогда в в первом остались матрицы $A$ и $A_1$ такие что при элементе b [2,1] равном смежные классы совпадают.

Как разбить на классы так чтобы не было повторений?

--
Заранее спасибо. Всех с Новым годом!

[VAL]

Delphin100 в сообщении #395748 писал(а):

Задача:
Является ли множество невырожденных верхне-треугольных матриц 2-го порядка нормальным делителем в группе невырожденных матриц второго порядка?

А откуда элементы матриц берутся? А то ведь группа может и не получиться.

Цитата:

Если является, то построить фактор-группу, если нет, то описать правое фактор-множество.

Моё решение:
1. То что это подгруппа проверил.
2. Не является нормальным делителем.
3. Нужно построить фактор-множество, тут встал вопрос: "как разбить на не пересекающиеся все классы?"

Попробовал записать как ${AH$ и $BH$ где $A = ((1,a);(b,c)) B = ((0,a);(b,c))}$
Во втором оказалось что смежные классы равны. Изменил на ${AH$ и $BH$ где $A = ((1,a);(b,c)) B = ((0,1);(2,3))}$

Не понял зачем Вы берете $B$ из подгруппы.
А матрицы лучше записывать так:

$$A=\left( \begin{array}{ll} 4&7\\ 6&11 \end{array}\right)$$

Цитата:

Тогда в в первом остались матрицы $A$ и $A_1$ такие что при элементе b [2,1] равном смежные классы совпадают.

В этой фразе вообще ничего не понял.

Цитата:

Как разбить на классы так чтобы не было повторений?

В одном смежном классе лежат все невырожденные матрицы, у которых первые столбцы пропорциональны.
Например, вышеприведенная матрица $A$ лежит в одном смежном классе с матрицей $B$, где

$$B=\left( \begin{array}{ll} 14&-17\\ 21&195 \end{array}\right)$$

[Delphin100]

Спасибо за помощь.
1. Элементы матрицы из $Q$
2. $B$ не верне-треугольная я записывал по строкам.
3. В общем уже не надо да и наверное это свелось бы к правильному ответу.
4. Спасибо за подсказку, всё получилось сделал смежные классы в зависимости от отношения элементов.