Окружность внутри эллипса

[Mandel]

Можно ли провести через 2 точки внутри эллипса окружность так,чтобы она касалась границы эллипса в 2-х точках?

[Vadimjr]

Вы имеете в виду: всегда ли можно или можно ли вообще? В принципе, вписанная в эллипс окружность существует - ее центр совпадает с центром эллипса, а радиус равен меньшему радиусу эллипса

[Mandel]

Всегда ли можно?А если я на бум возьму 2 точки внутри эллипса.то можно эту самую окружность провести через эти 2 точки,которая (окружность) касается эллипса в 2-х точках?

[Brukvalub]

Не всегда можно.Если представить себе сильно вытянутый эллипс ( то есть с большим отношением длин полуосей), то, в нем можно разместить отрезок так, чтобы половина его длины была больше минимального расстояния от центра этого отрезка до точек эллипса. Тогда через концы такого отрезка нужной окружности провести не удастся.

[Mandel]

Только тогда окружность,которая касается эллипса в одном точке!

[Brukvalub]

Mandel писал(а):

Только тогда окружность,которая касается эллипса в одном точке!

Если разрешить окружности "вылезать" за границы эллипса, то, похоже, это верно.

[Mandel]

осталось только найти функцию для построения окружности,проходящей через 3 заданные точки в mathCad

[Someone]

Brukvalub писал(а):

Mandel писал(а):

Только тогда окружность,которая касается эллипса в одном точке!

Если разрешить окружности "вылезать" за границы эллипса, то, похоже, это верно.

Возьмём на большой оси эллипса отрезок, длина которого больше малой оси. Никакая окружность, проходящая через его концы, не касается эллипса ни в какой точке.

[Brukvalub]

Я рассуждал так: центры всех таких окружностей лежат на срединном перпендикуляре к отрезку. Если центр отодвигать от отрезка по срединному перпендикуляру, то высота меньшего отсекаемого отрезком сегмента будет уменьшаться и в какой-то момент окружность коснется эллипса. Точными расчетами я это не проверял, поэтому и писал:

Цитата:

похоже,это верно.

Но и сейчас не вижу в своем рассуждении явного противоречия со здравым смыслом, мне кажется, что и в указанном Someone случае касания, можно достичь.

[Someone]

Brukvalub писал(а):

Но и сейчас не вижу в своем рассуждении явного противоречия со здравым смыслом, мне кажется, что и в указанном Someone случае касания, можно достичь.

Да, можно. Мне почему-то хотелось, чтобы ещё окружность лежала внутри эллипса.

Mandel писал(а):

Можно ли провести через 2 точки внутри эллипса окружность так,чтобы она касалась границы эллипса в 2-х точках?

Но две точки касания для одной окружности, как в первоначальной постановке, - это редкий исключительный случай.

[Mandel]

В продолжение.
Задача такая.
Дано: две точки на комплексной плоскости: $z_1=A_0 + A_1 i,z_2=B_0 + B_1 i$ (не лежащие на эллипсе).Параметры для эллипса: $a,b$.
Найти такую точку $z=x+y\cdot y на эллипсе,т.ч. угол $z1 -- z -- z2 $ был наибольшим (наименьшим).
Мои предложения такие: запишем параметрическое уравнение для эллипса: $x(t)=a\cdot cos(t), y(t) = b \cdot sin(t)$.
Искомый угол можно найти из уравнения:

$$ \left| {z_1 - z_2 } \right|^2 = \left| {z - z_1 } \right|^2 + \left| {z - z_2 } \right|^2 - 2\left| {z - z_1 } \right|\left| {z - z_2 } \right|\cos (\varphi ) $$

т.е.

$$ \cos (\varphi ) = f(t) = \frac{{\left| {a\cos (t) - A_0 + i(b\sin (t) - A_1 )} \right|^2 + \left| {a\cos (t) - B_0 + i(b\sin (t) - B_1 )} \right|^2 - \left| {A_0 - A_1 + i\left( {B_0 - B_1 } \right)} \right|^2 }}{{2\left| {a\cos (t) - A_0 + i(b\sin (t) - A_1 )} \right| \cdot \left| {a\cos (t) - B_0 + i(b\sin (t) - B_1 )} \right|}} $$

После сокращения:

$$ f(t) = \frac{{2a^2 \cos ^2 (t) - 2a\cos (t)\left[ {A_0 + B_0 } \right] - 2b\sin (t)\left[ {A_1 + B_1 } \right] + 2\left[ {A_0 A_1 + B_0 B_1 } \right] + 2b^2 }}{{\sqrt {\left[ {a^2 \cos ^2 (t) - 2A_0 a\cos (t) + A_0 ^2 + b^2 \sin ^2 (t) - 2A_1 b\sin (t) + A_1 ^2 } \right] \cdot \left[ {a^2 \cos ^2 (t) - 2B_0 a\cos (t) + B_0 ^2 + b^2 \sin ^2 (t) - 2B_1 b\sin (t) + B_1 ^2 } \right]} }} $$

Дальше надо искать критические точки.Но выражение получается очень громоздким.Так ли я делаю.Мож по-другому можно?
P.S: у меня даже MATHCAD завис при поиске критических точек

[Brukvalub]

Алгоритм верный, Вашу реализацию этого алгоритма в виде выражения для функции f(t) я не проверял.
Что еще можно сделать? Навскидку (проверку, если появится желание,отдаю в Ваши руки): поскольку Г.М.Т. точек плоскости, из которых некий отрезок виден под фиксированным углом, составляют две дуги окружностей одного радиуса с концами в концах этого отрезка, можно попробовать поступить так. Провести к отрезку срединный перпендикуляр и поискать на нем точку, равноудаленную от одного из концов отрезка и от переменной точки на эллипсе. Разрешимость такого условия означает, что соответствующая углу дуга окружности пересекает эллипс. Получится некоторое условие на положение неизвестной точки на перпендикуляре, которое будет разрешимо не для всех точек перпендикуляра, а только для его точек, составляющих некоторый отрезок. Если удастся этот отрезок найти, то его концы и определят наибольший и наименьший углы. Но я не проверял, реализуем ли этот алгоритм аналитически. Попробуйте, может что-нибудь и выйдет.

[Mandel]

Brukvalub алгоритм интересный,но я сомневаюсь,что его так просто можно решить аналитически.Может действовать в лоб:как я.Но если уж математический пакет зависает,так что будет со мной?
Уж очень громоздкое выражение.

[Brukvalub]

Мне больше предложить Вам нечего. Если мой алгоритм кажется Вам "страшным"-подождите предложений от других участников Форума.

[Mandel]

Brukvalub спасибо.Буду ждать...