2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Окружность внутри эллипса
Сообщение11.11.2006, 17:09 


14/04/06
202
Можно ли провести через 2 точки внутри эллипса окружность так,чтобы она касалась границы эллипса в 2-х точках?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 17:36 


27/09/06
7
Казанский Гос Ун-т
Вы имеете в виду: всегда ли можно или можно ли вообще? В принципе, вписанная в эллипс окружность существует - ее центр совпадает с центром эллипса, а радиус равен меньшему радиусу эллипса

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 17:50 


14/04/06
202
Всегда ли можно?А если я на бум возьму 2 точки внутри эллипса.то можно эту самую окружность провести через эти 2 точки,которая (окружность) касается эллипса в 2-х точках?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Не всегда можно.Если представить себе сильно вытянутый эллипс ( то есть с большим отношением длин полуосей), то, в нем можно разместить отрезок так, чтобы половина его длины была больше минимального расстояния от центра этого отрезка до точек эллипса. Тогда через концы такого отрезка нужной окружности провести не удастся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 17:53 


14/04/06
202
Только тогда окружность,которая касается эллипса в одном точке!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Mandel писал(а):
Только тогда окружность,которая касается эллипса в одном точке!

Если разрешить окружности "вылезать" за границы эллипса, то, похоже, это верно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 18:29 


14/04/06
202
осталось только найти функцию для построения окружности,проходящей через 3 заданные точки в mathCad

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Brukvalub писал(а):
Mandel писал(а):
Только тогда окружность,которая касается эллипса в одном точке!

Если разрешить окружности "вылезать" за границы эллипса, то, похоже, это верно.


Возьмём на большой оси эллипса отрезок, длина которого больше малой оси. Никакая окружность, проходящая через его концы, не касается эллипса ни в какой точке.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Я рассуждал так: центры всех таких окружностей лежат на срединном перпендикуляре к отрезку. Если центр отодвигать от отрезка по срединному перпендикуляру, то высота меньшего отсекаемого отрезком сегмента будет уменьшаться и в какой-то момент окружность коснется эллипса. Точными расчетами я это не проверял, поэтому и писал:
Цитата:
похоже,это верно.
Но и сейчас не вижу в своем рассуждении явного противоречия со здравым смыслом, мне кажется, что и в указанном Someone случае касания, можно достичь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 11:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Brukvalub писал(а):
Но и сейчас не вижу в своем рассуждении явного противоречия со здравым смыслом, мне кажется, что и в указанном Someone случае касания, можно достичь.


Да, можно. Мне почему-то хотелось, чтобы ещё окружность лежала внутри эллипса.

Mandel писал(а):
Можно ли провести через 2 точки внутри эллипса окружность так,чтобы она касалась границы эллипса в 2-х точках?


Но две точки касания для одной окружности, как в первоначальной постановке, - это редкий исключительный случай.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 21:24 


14/04/06
202
В продолжение.
Задача такая.
Дано: две точки на комплексной плоскости: $z_1=A_0 + A_1 i,z_2=B_0 + B_1 i$ (не лежащие на эллипсе).Параметры для эллипса: $a,b$.
Найти такую точку $z=x+y\cdot y на эллипсе,т.ч. угол $z1 -- z -- z2 $ был наибольшим (наименьшим).
Мои предложения такие: запишем параметрическое уравнение для эллипса: $x(t)=a\cdot cos(t), y(t) = b \cdot sin(t)$.
Искомый угол можно найти из уравнения:
$$
\left| {z_1  - z_2 } \right|^2  = \left| {z - z_1 } \right|^2  + \left| {z - z_2 } \right|^2  - 2\left| {z - z_1 } \right|\left| {z - z_2 } \right|\cos (\varphi )
$$
т.е.
$$
\cos (\varphi ) = f(t) = \frac{{\left| {a\cos (t) - A_0  + i(b\sin (t) - A_1 )} \right|^2  + \left| {a\cos (t) - B_0  + i(b\sin (t) - B_1 )} \right|^2  - \left| {A_0  - A_1  + i\left( {B_0  - B_1 } \right)} \right|^2 }}{{2\left| {a\cos (t) - A_0  + i(b\sin (t) - A_1 )} \right| \cdot \left| {a\cos (t) - B_0  + i(b\sin (t) - B_1 )} \right|}}
$$
После сокращения:
$$
f(t) = \frac{{2a^2 \cos ^2 (t) - 2a\cos (t)\left[ {A_0  + B_0 } \right] - 2b\sin (t)\left[ {A_1  + B_1 } \right] + 2\left[ {A_0 A_1  + B_0 B_1 } \right] + 2b^2 }}{{\sqrt {\left[ {a^2 \cos ^2 (t) - 2A_0 a\cos (t) + A_0 ^2  + b^2 \sin ^2 (t) - 2A_1 b\sin (t) + A_1 ^2 } \right] \cdot \left[ {a^2 \cos ^2 (t) - 2B_0 a\cos (t) + B_0 ^2  + b^2 \sin ^2 (t) - 2B_1 b\sin (t) + B_1 ^2 } \right]} }}
$$
Дальше надо искать критические точки.Но выражение получается очень громоздким.Так ли я делаю.Мож по-другому можно?
P.S: у меня даже MATHCAD завис при поиске критических точек ;)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Алгоритм верный, Вашу реализацию этого алгоритма в виде выражения для функции f(t) я не проверял.
Что еще можно сделать? Навскидку (проверку, если появится желание,отдаю в Ваши руки): поскольку Г.М.Т. точек плоскости, из которых некий отрезок виден под фиксированным углом, составляют две дуги окружностей одного радиуса с концами в концах этого отрезка, можно попробовать поступить так. Провести к отрезку срединный перпендикуляр и поискать на нем точку, равноудаленную от одного из концов отрезка и от переменной точки на эллипсе. Разрешимость такого условия означает, что соответствующая углу дуга окружности пересекает эллипс. Получится некоторое условие на положение неизвестной точки на перпендикуляре, которое будет разрешимо не для всех точек перпендикуляра, а только для его точек, составляющих некоторый отрезок. Если удастся этот отрезок найти, то его концы и определят наибольший и наименьший углы. Но я не проверял, реализуем ли этот алгоритм аналитически. Попробуйте, может что-нибудь и выйдет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 22:59 


14/04/06
202
Brukvalub алгоритм интересный,но я сомневаюсь,что его так просто можно решить аналитически.Может действовать в лоб:как я.Но если уж математический пакет зависает,так что будет со мной? :)
Уж очень громоздкое выражение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Мне больше предложить Вам нечего. Если мой алгоритм кажется Вам "страшным"-подождите предложений от других участников Форума.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 23:16 


14/04/06
202
Brukvalub спасибо.Буду ждать...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group