Риманово пространство

[Padawan]

Может ли быть компактное риманово пространство размерности >=2 c нулевым тензором кривизны, т.е. локально изометричное евклидову?

На олимпиадную не тянет, конечно.

[Someone]

Padawan писал(а):

Может ли быть компактное риманово пространство размерности >=2 c нулевым тензором кривизны, т.е. локально изометричное евклидову?

Плоский тор.

[Руст]

Someone писал(а):

Плоский тор.

Что из себя представляет компактный (многообразие без границ ) плоский тор?

[Someone]

Руст писал(а):

Someone писал(а):

Плоский тор.

Что из себя представляет компактный (многообразие без границ ) плоский тор?

Берём $n$-мерный куб и склеиваем противоположные гранани. Риманову метрику сохраняем ту, которая была в $\mathbb R^n$.

[Руст]

Someone писал(а):

Берём $n$-мерный куб и склеиваем противоположные гранани. Риманову метрику сохраняем ту, которая была в $\mathbb R^n$.

Но это обычный тор, топологический $S^n$, где S окружность. Разве можно там ввести гладкую метрику (для подсчёта кривизны нужна дважды дифференцируемость), чтобы кривизна была равна нулю?

[Someone]

Руст писал(а):

Но это обычный тор, топологический $S^n$, где S окружность. Разве можно там ввести гладкую метрику (для подсчёта кривизны нужна дважды дифференцируемость), чтобы кривизна была равна нулю?

Да просто $ds^2=\sum\limits_{k=1}^ndx_k^2$.

[Руст]

Действительно просто. У меня ассоцировалась ощущение невозможности из-за того, что вырезая велосипедную камеру не удается уложить на полу (плоскости).

[Someone]

$n$-мерный тор $T^n$ с плоской метрикой можно реализовать в $\mathbb R^{2n}$. Если считать, что точки тора имеют координаты $0\leqslant x_k<\pi$, $k=1,2,\dots,n$, то вложение в $\mathbb R^{2n}$ с координатами $u_k,v_k$, $k=1,2,\dots,n$, даётся формулами $u_k=\cos x_k$, $v_k=\sin x_k$, $k=1,2,\dots,n$.

[ИСН]

Говоря простыми словами, произведение (ой, или это не так называется? всё забыл.) n окружностей, лежащих каждая в своём двумерном пространстве.

[Padawan]

Someone писал(а):

$n$-мерный тор $T^n$ с плоской метрикой можно реализовать в $\mathbb R^{2n}$.

А двумерный в R^3 можно?

[Руст]

По видимому можно вложить только гладким отображением, но нельзя вложить изометрический, о чём я говорил на примере с камерой.