fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 17:06 
Заслуженный участник


13/12/05
4655
Может ли быть компактное риманово пространство размерности >=2 c нулевым тензором кривизны, т.е. локально изометричное евклидову?

На олимпиадную не тянет, конечно. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18025
Москва
Padawan писал(а):
Может ли быть компактное риманово пространство размерности >=2 c нулевым тензором кривизны, т.е. локально изометричное евклидову?


Плоский тор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 18:52 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Someone писал(а):
Плоский тор.

Что из себя представляет компактный (многообразие без границ ) плоский тор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18025
Москва
Руст писал(а):
Someone писал(а):
Плоский тор.

Что из себя представляет компактный (многообразие без границ ) плоский тор?


Берём $n$-мерный куб и склеиваем противоположные гранани. Риманову метрику сохраняем ту, которая была в $\mathbb R^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 19:30 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Someone писал(а):
Берём $n$-мерный куб и склеиваем противоположные гранани. Риманову метрику сохраняем ту, которая была в $\mathbb R^n$.

Но это обычный тор, топологический $S^n$, где S окружность. Разве можно там ввести гладкую метрику (для подсчёта кривизны нужна дважды дифференцируемость), чтобы кривизна была равна нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18025
Москва
Руст писал(а):
Но это обычный тор, топологический $S^n$, где S окружность. Разве можно там ввести гладкую метрику (для подсчёта кривизны нужна дважды дифференцируемость), чтобы кривизна была равна нулю?


Да просто $ds^2=\sum\limits_{k=1}^ndx_k^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 20:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Действительно просто. У меня ассоцировалась ощущение невозможности из-за того, что вырезая велосипедную камеру не удается уложить на полу (плоскости).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18025
Москва
$n$-мерный тор $T^n$ с плоской метрикой можно реализовать в $\mathbb R^{2n}$. Если считать, что точки тора имеют координаты $0\leqslant x_k<\pi$, $k=1,2,\dots,n$, то вложение в $\mathbb R^{2n}$ с координатами $u_k,v_k$, $k=1,2,\dots,n$, даётся формулами $u_k=\cos x_k$, $v_k=\sin x_k$, $k=1,2,\dots,n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Говоря простыми словами, произведение (ой, или это не так называется? всё забыл.) n окружностей, лежащих каждая в своём двумерном пространстве.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 15:59 
Заслуженный участник


13/12/05
4655
Someone писал(а):
$n$-мерный тор $T^n$ с плоской метрикой можно реализовать в $\mathbb R^{2n}$.


А двумерный в R^3 можно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 16:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
По видимому можно вложить только гладким отображением, но нельзя вложить изометрический, о чём я говорил на примере с камерой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group