Я не предполагаю никакого равномерного распределения. Я беру определение выборочного распределения как функции из

, которая в точности равна

где

. Эта функция при фиксированном

является вероятностной мерой на борелевской сигма-алгебре в

(а при фиксированном

- случайной величиной). Выше

есть индикаторная функция

Фиксируя

, тем самым фиксируя двумерную выборку

, рассматриваем вероятностную меру на плоскости

. Строим коэффициент корреляции случайных величин с этим двумерным распределением. По определению строим, ковариация делить на корень из произведения дисперсий. Всё. Получаем тот коэффициент корреляции, что выше приведён. Свойства, которые выполнены для любого коэффициента корреляции, выполняются и для этого. Просто потому, что он на каждом элементарном исходе тоже есть коэффициент корреляции.
Не очень понятно мне, зачем такие подробности, если нам известно, что такое выборка и эмпирическое, оно же выборочное, распределение.
(Оффтоп)
На самый худой конец, примените к коэффициенту корреляции неравенство Коши - Буняковского, чтобы убедиться, что при

в знаменателе он меньше единицы по модулю, а иначе - нет.