Область значений многочлена

[resevus]

Может ли многочлен $P(x), x \in \mathbb{R}$ иметь область значений $(0;+\infty)$?
Может ли многочлен $P(x,y) , x,y \in \mathbb{R}$ иметь область значений $(0;+\infty)$?

[caxap]

Олимпиадные ?

caxap в сообщении #396268 писал(а):

Может ли многочлен $P(x)$...

па...

caxap в сообщении #396268 писал(а):

Может ли многочлен $P(x,y)$...

то же

[Padawan]

Во первом - нет, во втором - да.

[caxap]

Ой, там же круглая скобка

[gris]

caxap, "па" — это по-французски? То есть нет?

из соображений непрерывности и конечной (да?) степени многочлена следует, что в ограниченной области не существует последовательности точек, в которых функция стремится к нулю. Иначе можно было бы выделить сходящуюся подпоследовательность к некоторой точке, в которой функция принимала бы значение ноль. В одномерном варианте это сразу даёт ответ "нет", а вот в двумерном чего-то не сображу.

[Padawan]

мат-ламер в сообщении #325599 писал(а):

А если рассмотреть многочлен $(xy-1)^2+x^2$?