Теорвер: независимость функций от независимых случ. величин

[Niclax]

Доброго времени суток! У меня возник вопрос:

Функции независимых случайных величин независимы?

Если да, то как это доказать? Если нет, то какой можно привести контрпример?

[Gortaur]

Для измеримых функций - да. Доказать несложно - две сл. величины независимы тогда и только тогда когда их сигма-алгебры независимы.

Допустим, есть две случайные величины $X_1,X_2:(\Omega,\mathcal{F})\to(\mathbb{X},\mathcal{G})$ и две измеримые функции $f,g:(\mathbb{X},\mathcal{G}) \to (\mathbb{Y},\mathcal{H})$.

Используя измеримость функций $f$ и $g$ получаем, что $f(X_1(\omega)),g(X_2(\omega))$ - измеримые и кроме того $f(X_1)^{-1}(\mathcal{H})\subset X_1^{-1}(\mathcal{G})$ - то же самое и для $g$. Таким образом, сигма алгебры порожденные функциями лежат в сигма-алгебрах, порожденных сл. величиными. А отсюда - если последние были независимы, то и сигма-алгебры функций также независимы.

-- Пт янв 07, 2011 12:23:05 --

Вспомнил как сам учил теорвер и подумал, что было бы неплохо пояснить. Когда сл. величины независимы? Тогда, когда какое бы значение не приняло $X_1$ нам это не дает никакой информации о величине $X_2$ - то есть если $A,B\subset \mathbb{X}$ и они "хорошие множества" (то есть например открытые или замкнутые или их объединения, а не какие-нибудь уродцы) - то есть измеримые ($A,B\in \mathcal{G}$) - то вероятность того, что $X_2$ попадет в $B$ при условии что $X_1$ попало в $A$ должна быть просто вероятность того, что $X_2$ попало в $B$ (так как сл. величины независимы). То есть

$$ P\{X_2\in B|X_2\in A\} = P\{X_2^{-1}(B)|X_2^{-1}(A)\} = P\{X_2^{-1}(B)\} $$

То есть прообразы любых измеримых множеств $A$ и $B$ независимы. А далее мы используем, что прообразы измеримых функций от случайных величин всегда будут какими-нибудь прообразами самих случайных величин.

[Niclax]

Спасибо за развернутый ответ. Но я не совсем понял, что такое независимые сигма-алгебры. Можете пояснить?
Лично я пользуюсь таким определением независимости случайных величин:

$P(\xi_1\in B_1,\xi_2\in B_2)=P(\xi_1\in B_1)P(\xi_2\in B_2)$

для любых измеримых $B_1$ и $B_2$.

[--mS--]

Niclax в сообщении #396415 писал(а):

Спасибо за развернутый ответ. Но я не совсем понял, что такое независимые сигма-алгебры. Можете пояснить?
Лично я пользуюсь таким определением независимости случайных величин:

$P(\xi_1\in B_1,\xi_2\in B_2)=P(\xi_1\in B_1)P(\xi_2\in B_2)$

для любых измеримых $B_1$ и $B_2$.

Две сигма-алгебры $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ независимы, если независимы любые два принадлежащие им события: для любых $A \in \mathcal{A}$ и $B\in\mathcal{B}$ выполнено $\mathsf P(AB)=\mathsf P(A)\mathsf P(B)$.

Если легче не стало, приведите свои определения: каким определением случайной величины пользуетесь, измеримость $B_i$ в каком смысле понимается в определении независимости, и какие функции от случайных величин имеются в виду. Нарисую обоснование на человеческом языке

[Niclax]

--mS--
Под измеримостью я понимаю измеримость по Лебегу.
Если $(\Omega,\mathcal{F},P)$ - вероятностное пространство, то под случайной величиной понимается измеримая функция $\xi:\Omega\to\mathbb{R}$
(то есть $\forall\quad B\in\mathcal{L}\quad \xi^{-1}(B)\in\mathcal{F}$)
А насчет функций... Сначала возник вопрос про линейные функции, но в данном случае всё можно легко проверить. А как быть с другими? Ну пускай хотя бы с измеримыми.

[--mS--]

Niclax в сообщении #396490 писал(а):

--mS--
Под измеримостью я понимаю измеримость по Лебегу.
Если $(\Omega,\mathcal{F},P)$ - вероятностное пространство, то под случайной величиной понимается измеримая функция $\xi:\Omega\to\mathbb{R}$
(то есть $\forall\quad B\in\mathcal{L}\quad \xi^{-1}(B)\in\mathcal{F}$)

Я боюсь, что Вы что-то путаете. Измеримость по Лебегу функции - это когда прообраз любого борелевского множества (или интервала $(-\infty, x)$) для этой функции есть множество, измеримое по Лебегу. Случайная величина - это функция, действующая из $\Omega$, которое не обязательно $\mathbb R$. В $\Omega$ нет понятия "измеримость по Лебегу".

Поэтому: нормальные общепринятые определения.
Случайная величина есть функция $\xi: \Omega \to \mathbb R$ такая, что для любого борелевского множества $B\in\mathfrak{B}(\mathbb R)$ выполнено $\xi^{-1}(B)\in \mathcal{F}$.

Если функция $f: \mathbb R \to \mathbb R$ измерима по Борелю (т.е. прообраз любого борелевского множества борелевский), то $f(\xi)$ снова является случайной величиной. Конечно, борелевость $f$ - это слишком жёсткое требование для того, чтобы $f(\xi)$ была с.в. Необходимые и достаточные требования Gortaur изложил выше. Но пусть.

Итак, $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, $f$ и $g$ - две борелевские функции.

Величины $f(\xi)$ и $g(\eta)$ независимы, если для любых борелевских множеств $A$ и $B$

$$\mathsf P(f(\xi) \in A, g(\eta) \in B) = \mathsf P(f(\xi) \in A)\mathsf P(g(\eta) \in B).$$

Левая часть есть

$$\mathsf P(\xi \in f^{-1}(A), \eta \in g^{-1}(B)) = \mathsf P(\xi \in f^{-1}(A))\mathsf P(\eta \in g^{-1}(B)),$$

т.к. $f^{-1}(A)$ $g^{-1}(B))$ - два борелевских множества, и $\xi$ и $\eta$ независимы. Правая часть равна тому же.

[Niclax]

Я писал про измеримость множеств в $\mathbb{R}$. А что такое измеримая функция, у меня написано в скобочках, и мое определение совпадает с Вашим, за исключением того, что у Вас в качестве сигма-алгебры взяты борелевские множества, а у меня измеримые по Лебегу

[--mS--]

Niclax в сообщении #396517 писал(а):

А что такое измеримая функция, у меня написано в скобочках, и мое определение совпадает с Вашим, за исключением того, что у Вас в качестве сигма-алгебры взяты борелевские множества, а у меня измеримые по Лебегу

Вот Ваше определение случайной величины как раз и шокирует. Дайте определение измеримой по Лебегу функции из $\mathbb R$ в $\mathbb R$.

[Niclax]

Прообраз измеримого измерим. Если под измеримостью множеств понимается измеримость по Лебегу, то и функция измерима по Лебегу, если же - по Борелю, то функция измерима по Борелю.

И, кстати, про функцию я не говорил, что она измерима по Лебегу. Я писал, что она просто измерима.

[--mS--]

Niclax в сообщении #396524 писал(а):

И, кстати, про функцию я не говорил, что она измерима по Лебегу. Я писал, что она просто измерима.

Достаточно того, что случайную величину Вы назвали измеримой по Лебегу. Поскольку Вы то и дело отказываетесь от своих слов, вынуждена просить уточнений:

Niclax в сообщении #396524 писал(а):

Прообраз измеримого измерим. Если под измеримостью множеств понимается измеримость по Лебегу, то и функция измерима по Лебегу, если же - по Борелю, то функция измерима по Борелю.

Выше два раза измерим. Эта измеримость всякий раз в одном и том же смысле? По Борелю оставим в стороне, дайте определение измеримой по Лебегу функции, без недомолвок, с точным указанием, измеримость множеств в каком смысле имеется в виду в каждом месте. Прошу второй раз.

[Niclax]

Я не отказывался от своих слов. Покажите, где я писал, что функция измерима по Лебегу.
Измеримость по Лебегу относится только к множествам в $\mathbb{R}$.

Цитата:

Выше два раза измерим. Эта измеримость всякий раз в одном и том же смысле? По Борелю оставим в стороне, дайте определение измеримой по Лебегу функции, без недомолвок, с точным указанием, измеримость множеств в каком смысле имеется в виду в каждом месте. Прошу второй раз.

Да, одном смысле. Например, по Лебегу. Еще раз определение:

Если прообраз измеримого по Лебегу измерим по Лебегу, то функция измерима по Лебегу.

[--mS--]

Niclax в сообщении #396565 писал(а):

Я не отказывался от своих слов. Покажите, где я писал, что функция измерима по Лебегу.
Измеримость по Лебегу относится только к множествам в $\mathbb{R}$.

Читаем:

Niclax в сообщении #396490 писал(а):

--mS--
Под измеримостью я понимаю измеримость по Лебегу.
Если $(\Omega,\mathcal{F},P)$ - вероятностное пространство, то под случайной величиной понимается измеримая функция $\xi:\Omega\to\mathbb{R}$
(то есть $\forall\quad B\in\mathcal{L}\quad \xi^{-1}(B)\in\mathcal{F}$)
А насчет функций... Сначала возник вопрос про линейные функции, но в данном случае всё можно легко проверить. А как быть с другими? Ну пускай хотя бы с измеримыми.

Niclax в сообщении #396565 писал(а):

Да, одном смысле. Например, по Лебегу. Еще раз определение:

Если прообраз измеримого по Лебегу измерим по Лебегу, то функция измерима по Лебегу.

Великолепно. Надеюсь от этого Вы отказываться уже не будете. В очередной раз сообщаю Вам определение измеримости функции по Лебегу:

Определение. Функция $f:\mathbb R \to \mathbb R$ называется измеримой по Лебегу, если для любого $y\in \mathbb R$ множество $\{x : f(x) < y\}=f^{-1}((-\infty, y))$ измеримо по Лебегу.

Эквивалентное определение. Функция $f:\mathbb R \to \mathbb R$ называется измеримой по Лебегу, если для любого борелевского множества $B\in \mathfrak{B}(\mathbb R)$ множество $\{x : f(x) \in B\}=f^{-1}(B)$ измеримо по Лебегу.

Ещё раз: НЕ берут прообразы множеств, измеримых по Лебегу. Берут прообразы интервалов (так называемые "лебеговские множества функции $f$"). Что то же самое - прообразы борелевских множеств.
Предлагаю Вам открыть какую-нибудь книгу по теории функций/теории меры (не знаю, какая лучше - тут я не специалист) и сверить. Например, П. Халмош "Теория меры", стр. 80-81. В.И.Богачёв "Основы теории меры", т.1, стр.136, А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин "Элементы ТФ и ФА" гл. 5, параграф 4. Да и гуглом даже находятся определения.

[Niclax]

Цитата:

...измеримость $B_i$ в каком смысле понимается в определении независимости...

Niclax в сообщении #396490 писал(а):

--mS--
Под измеримостью я понимаю измеримость по Лебегу.

--mS-- в сообщении #396507 писал(а):

Я боюсь, что Вы что-то путаете. Измеримость по Лебегу функции - это когда прообраз любого борелевского множества (или интервала $(-\infty, x)$) для этой функции есть множество, измеримое по Лебегу.

Niclax в сообщении #396517 писал(а):

Я писал про измеримость множеств в $\mathbb{R}$.

Зачем Вам сдалась измеримость функции по Лебегу я вообще не понимаю. Я знаю то определение, что Вы написали, просто с чего-то вдруг в голову ударило, что мое определение эквивалентно тому, что написали Вы. А определение случайной величины я написал в самом начале:

Цитата:

Если $(\Omega,\mathcal{F},P)$ - вероятностное пространство, то под случайной величиной понимается измеримая функция $\xi:\Omega\to\mathbb{R}$
(то есть $\forall\quad B\in\mathcal{L}\quad \xi^{-1}(B)\in\mathcal{F}$)

Заметьте: просто измеримая. Есть даже пояснение в скобочках. Поэтому Ваши придирки неуместны.

[--mS--]

Niclax в сообщении #396584 писал(а):

Зачем Вам сдалась измеримость функции по Лебегу я вообще не понимаю. Я знаю то определение, что Вы написали, просто с чего-то вдруг в голову ударило, что мое определение эквивалентно тому, что написали Вы. А определение случайной величины я написал в самом начале:

Цитата:

Если $(\Omega,\mathcal{F},P)$ - вероятностное пространство, то под случайной величиной понимается измеримая функция $\xi:\Omega\to\mathbb{R}$
(то есть $\forall\quad B\in\mathcal{L}\quad \xi^{-1}(B)\in\mathcal{F}$)

Заметьте: просто измеримая. Есть даже пояснение в скобочках. Поэтому Ваши придирки неуместны.

Это не придирки. К сожалению, это существо дела. Начнём с начала. Что такое $\mathcal{L}$ в Вашем определении выше?

[Niclax]

Сигма-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств $\mathbb{R}$.