Теорема Г--К для диагональных матриц

[caxap]

Докажите теорему Гамильтона--Кэли в случае квадратной матрицы, все корни характеристического уравнения которой действительны и попарно различны.

Возьмём квадратную матрицу $A$, корни хар. многочлена $\chi(\lambda)=|A-\lambda E|$ которой действительны и попарно различны. Тогда матрица приводится к диагональному виду $\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ в некотором базисе. Привели (пускай $A$ уже в диагональном виде). $\chi(\lambda)$ от базиса не зависит и, значит, равен $\chi(\lambda)=\prod_{k=1}^n (\lambda_k-\lambda)$. "Подставляем" $A$: $\chi(A)=\prod_{k=1}^n (\lambda_kE-A)$, но так как $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, то произведением будем нулевая матрица (т. к. нет такого места, где бы во всех матрицах стоял не ноль).

Проверьте, пожалуйста.

-- 05 янв 2011, 20:26 --

Сформулируйте теорема Гамильтона--Кэли для лин. операторов и доказать её в случае линейного оператора, имеющего базис из собственных векторов.

Я думаю, формулировка будет такая: если взять лин. оператор $\mathcal A$, его матрицу в некотором базисе $A$, найти её хар. многочлен $\chi(\lambda)$ и "подставить" в хар. многочлен вместо лямбды $\mathcal A$, то получим нулевой оператор ($\mathcal O:x\mapsto 0$).

Доказательство: перейдём в базис из собственных векторов. В нём матрица $A$ будет диагональной и является "корнем" $\chi(\lambda)$ (см. предыдущую задачу). Но матрице $\chi(A)$ будет соответствовать оператор $\chi(\mathcal A)$ (напр. для матрицы $A^2+2A+3E$ оператор будет $(\mathcal A^2+2\mathcal A+3)(x)=\mathcal A^2 x+2\mathcal A x+3x$). Но $\chi(A)=O$, поэтому $\chi(\mathcal A)=\mathcal O$.

[Утундрий]

\[ \hat A^k = \operatorname{Diag} \left( {\lambda _1 ,\lambda _2 ,...\lambda _n } \right)^k = \operatorname{Diag} \left( {\lambda _1^k ,\lambda _2^k ,...\lambda _n^k } \right) \] $$\[ \Rightarrow \] $ $\[ \chi \left( {\hat A} \right) = \operatorname{Diag} \left( {\chi \left( {\lambda _1 } \right),\chi \left( {\lambda _2 } \right),...\chi \left( {\lambda _n } \right)} \right) = \hat 0 \] $

[caxap]

Я что-то не очень понял (после $\chi(\hat A)=$) (шапочка над буквой обозначает оператор?)
А моё доказательство правильное? Своё ближе

[Утундрий]

caxap в сообщении #395770 писал(а):

шапочка над буквой обозначает оператор?

Матрицу.

caxap в сообщении #395770 писал(а):

Я что-то не очень понял

При возведении в степень диагональной матрицы получается диагональная же матрица на диагонали которой стоят степени соответственных элементов исходной матрицы. Поэтому, когда мы собираем из степеней матрицы характеристический многочлен, то получаем диагональную матрицу, на диагоналях которой стоят характеристические многочлены от диагональных элементов исходной матрицы.
(Как-то много диагоналей получилось, но се ля ви - диагональность задачи обязывает)

[caxap]

Дошло.

Но всё равно интересно узнать верность моего решения.

[Утундрий]

Вот это место

caxap в сообщении #395747 писал(а):

"Подставляем" $A$: $\chi(A)=\prod_{k=1}^n (\lambda_kE-A)$, но так как $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, то произведением будем нулевая матрица (т. к. нет такого места, где бы во всех матрицах стоял не ноль).

совершенно неудобоваримо и сильно напоминает сакраментальное "Потому что... Вот!"

[caxap]

Я знаю, сам сначала проверял на матрицах маленького размера. Потом заметил, что, чтобы в итоговой матрице в месте $(i,i)$ был не нуль, то во всех множителях там должен быть не нуль. Но у $k$-го множителя стоит нуль в месте $(k,k)$, а поэтому в $\chi(A)$ на диагонале будут только нули. (А вне диагонали всегда нули, ибо тут все матрицы диагональные.) Меня интересует не столько рациональность доказательства, сколько его правильнос отсутствие в нём грубых ошибок.

Ладно. А можно ли распространить хотя бы одно из доказательств на случай произвольных матриц (в смысле и с комплексными и с кратными собств. значениями)?

[Утундрий]

caxap в сообщении #395794 писал(а):

А можно ли распространить

Вряд ли... Да и незачем. Вон, у Р. Беллмана в его "Введении в теорию матриц" (глава 11, §18, стр. 237) она в три пинка доказывается.

[ewert]

Утундрий в сообщении #395797 писал(а):

у Р. Беллмана в его "Введении в теорию матриц" (глава 11, §18, стр. 237) она в три пинка доказывается.

Одного пинка там всё-таки не хватает. Там метко замечено, что $AB_i=B_iA$, но не сказано, зачем это нам нужно (а это обстоятельство действительно принципиально). Что делает доказательство несколько невразумительным: непонятно, за что мы, собственно, боремся.

С другой стороны, обоснование перестановочности тем фактом, что $B_i$, дескать, есть многочлен от $A$ -- оно конечно так, но смотрится не очень эстетично. Гораздо проще обратить внимание на то, что характеристический многочлен равен не только $(A-\lambda I)\cdot B(\lambda)$, но заодно и $B(\lambda)\cdot(A-\lambda I)$ (как это сделано у Гантмахера, но там другая проблема: он использует "внешнюю ссылку" на обобщённую теорему Безу, что делает доказательство неавтономным).