Докажите теорему Гамильтона--Кэли в случае квадратной матрицы, все корни характеристического уравнения которой действительны и попарно различны.Возьмём квадратную матрицу

, корни хар. многочлена

которой действительны и попарно различны. Тогда матрица приводится к диагональному виду

в некотором базисе. Привели (пускай

уже в диагональном виде).

от базиса не зависит и, значит, равен

. "Подставляем"

:

, но так как

, то произведением будем нулевая матрица (т. к. нет такого места, где бы во всех матрицах стоял не ноль).
Проверьте, пожалуйста.
-- 05 янв 2011, 20:26 --Сформулируйте теорема Гамильтона--Кэли для лин. операторов и доказать её в случае линейного оператора, имеющего базис из собственных векторов.Я думаю, формулировка будет такая: если взять лин. оператор

, его матрицу в некотором базисе

, найти её хар. многочлен

и "подставить" в хар. многочлен вместо лямбды

, то получим нулевой оператор (

).
Доказательство: перейдём в базис из собственных векторов. В нём матрица

будет диагональной и является "корнем"

(см. предыдущую задачу). Но матрице

будет соответствовать оператор

(напр. для матрицы

оператор будет

). Но

, поэтому

.