Собственные значения $A^2$ и $A^{-1}$

[caxap]

Пусть лин. оператор $\mathcal A$, действующий в $n$-мерном линейном пространстве, имеет в некотором базисе матрицу $A$. Пусть $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ -- собственные значения этого оператора. Найдите собственные значения и собственные векторы лин. оператора, матрицей которого в том же базисе является: а) $A^2$; б) $A^{-1}$.

Подскажите, пожалуйста, с чего начать. Я интуитивно представляю, что раз относительно $\mathcal A$ инвариантны некоторые пространства, то если мы применим $\mathcal A$ ещё раз, то они всё равно останутся инвариантными. Аналогично с $\mathcal A^{-1}$. То есть, если интуиция не подводит, то собственные векторы и значения останутся теми же. Если да, то как это построже обосновать?

[ewert]

caxap в сообщении #395669 писал(а):

То есть, если интуиция не подводит, то собственные векторы и значения останутся теми же.

Собственные векторы, конечно, останутся теми же (точнее говоря -- те, что были, останутся, но могут и ещё добавиться). Но собственные числа-то с какой стати сохранятся?...

caxap в сообщении #395669 писал(а):

[i] Я интуитивно представляю, что раз относительно $\mathcal A$ инвариантны некоторые пространства, то если мы применим $\mathcal A$ ещё раз, то они всё равно останутся инвариантными.

Это даже и не интуитивно, а очевидно верно. Только к собственным числам/векторам, формально говоря, отношения не имеет.

----------------------------
Пыс. Какая-то нелепая постановка задачи. При чём тут матрицы-то?... Надо было говорить об операторах $\mathcal A^{2}$ и $\mathcal A^{-1}$.

[caxap]

ewert в сообщении #395707 писал(а):

Собственные векторы, конечно, останутся теми же (точнее говоря -- те, что были, останутся, но могут и ещё добавиться). Но собственные числа-то с какой стати сохранятся?...

Да, пардон. Если опять интуитивно: если $\mathcal A$ умножает с.в. на $\lambda$, то $\mathcal A^2$ должен умножать на $\lambda\cdot\lambda=\lambda^2$. А $\mathcal A^{-1}$ -- на $1/\lambda$.

А как строго это показать (если это верно)?

ewert в сообщении #395707 писал(а):

но могут и ещё добавиться

А как понять, какие с.в. появятся ещё?

[ewert]

caxap в сообщении #395708 писал(а):

А как строго это показать (если это верно)?

В лоб. Если $\mathcal A u=\lambda u$, то $\mathcal A^2 u=\ldots$ и $\mathcal A^{-1}v=\ldots$.

[caxap]

ewert в сообщении #395707 писал(а):

Только к собственным числам/векторам, формально говоря, отношения не имеет.

Но ведь собственные векторы составляют инвариантное подпространство. Пусть, например, имеется с.з. $\lambda$ кратности 1, тогда ему будет соответсвовать одномерное инвариантное подпространства, из которого $\mathcal A$ векторы выводить не будет. Ну а если так, то и повторный $\mathcal A$ тоже не выведет. Обратный тоже.

-- 05 янв 2011, 18:05 --

ewert в сообщении #395709 писал(а):

В лоб

Ой действительно, всё просто.

-- 05 янв 2011, 18:09 --

По поводу появления новых с.в.: если $\mathcal A$ такое, что $\mathcal A^2=\mathcal I$, то всё пространство будет состоять из с.в. А может (я предполагаю) быть так, что с.в. вообще не появятся. Но ведь о $\mathcal A$ вообще в задаче ничего не сказано, оно произвольно. Тут как быть?

[ewert]

caxap в сообщении #395708 писал(а):

А как понять, какие с.в. появятся ещё?

Простейший случай: если оператор нильпотентен (т.е. некоторая его степень даёт нулевой оператор), то при возведении такого оператора в возрастающие степени его собственное подпространство, отвечающее нулевому (и единственному) собственному числу, монотонно расширяется (пока не совпадёт наконец вообще со всем пространством). Ну и соотв. обобщение.

-- Ср янв 05, 2011 19:10:39 --

caxap в сообщении #395710 писал(а):

Но ведь собственные векторы составляют инвариантное подпространство.

Это-то да, только вот не всякое инвариантное подпространство является собственным. Так что та логика не катит.

[caxap]

ОК, тогда так: (тут перешёл к матрицам)
$Ax=\lambda x$, $ A^2(x)= A(Ax)= A(\lambda x)=\lambda^2 x$
$ Ax=\lambda x\iff A^{-1} Ax= A^{-1} \lambda x\iff A^{-1}x=\dfrac 1\lambda x$

С "лишними" с.в. не разобрался...

[ewert]

caxap в сообщении #395720 писал(а):

С "лишними" с.в. не разобрался...

Подождите, пока не появятся жордановы формы. А задачка -- глюпая, во всяком случае в том виде как она была сформулирована.

[caxap]

ewert
Жордановы формы уже прочитал.

ewert в сообщении #395752 писал(а):

А задачка -- глюпая, во всяком случае в том виде как она была сформулирована.

Почему? Потому что матрицы приплелись? Так это чтобы запутать.

-- 05 янв 2011, 20:46 --

А может из-за того, что пространство $n$-мерное, а собственных значений тоже $n$ (наверняка подразумевается, что они все различные -- иначе зачем им задавть разные имена?), то лишних собственных векторов не появляется? В некотором базисе (из собственных векторов) матрица $A$ будет диагональной. А тогда $A^2$ тоже будет диагональной, только на диагонали будут стоять квадраты старых значений. Вроде бы тут лишних векторов нету. Насчёт $A^{-1}$ сейчас подумаю...

-- 05 янв 2011, 21:02 --

caxap в сообщении #395762 писал(а):

Вроде бы тут лишних векторов нету.

Ведь если они будут, то должно быть для них ещё одно собственное значение, а их не может быть больше размерности пространства.

Теперь про $\mathcal A^{-1}$. Если перейти в базис собственных векторов, $A$ будет диагональной, а $A^{-1}$ тоже (все значения на диагонали станут обратными). Опять же лишние с.в. не появятся, т.к. с.з. не может быть больше $n$.

-- 05 янв 2011, 21:04 --

Проверьте, пожалуйста.

[caxap]

Хотя бы вот эта мысль верная?

caxap в сообщении #395762 писал(а):

Ведь если они ["лишние" собственные векторы] будут, то должно быть для них ещё одно собственное значение, а их не может быть больше размерности пространства.

[paha]

Общая задача на эту тему такая: пусть операторы $A$ и $B$ коммутируют и известны их с.з.
Что можно сказать о c.з. $f(A,B)$? Здесь $f$ -- многочлен

[caxap]

paha
$AB=BA$, поэтому $AB$ и $BA$ имеют одинаковые СЗ и СВ. Но $AB$ имеет СВ оператора $A$, а $BA$ -- СВ оператора $B$. То есть СВ $A$ и $B$ совпадают (?).

$B^k$ имеет все СВ $B$ (с собственными значениями в $k$-ой степени по сравнению с $B$). Но могут появиться лишние СВ (?). (А если известно, что $B$ имеет $n$ различных СЗ, $n$ -- размерность пространства, то по-моему, лишние СЗ и СВ (?) появится не могут.) То же с $A^k$.

$A^k$ и $B^k$ тоже коммутируют, и вообще в любом произведении $A$ и $B$ порядок не важен, то есть это произведение будет иметь те же СВ, что и $A$ (и $B$). Сумма тоже (?). Многочлен значит тоже (?).

[paha]

caxap в сообщении #396646 писал(а):

То есть СВ $A$ и $B$ совпадают (?).

Нулевой оператор коммутирует с любым... но не у любого оператора все вектора -- собственные, Да?-)))

[caxap]

А. Тогда они просто имеют общие СВ.

[caxap]

Хотя нет, отмена, у меня сегодня с логикой проблемы

paha в сообщении #396637 писал(а):

Что можно сказать о c.з. $f(A,B)$? Здесь $f$ -- многочлен

Можно сказать, что множество СВ $f(A,B)$ включает в себя СВ оператора $A$ и СВ оператора $B$.