Собственные значения $A^2$ и $A^{-1}$

[paha]

caxap в сообщении #396711 писал(а):

Можно сказать, что множество СВ $f(A,B)$ включает в себя СВ оператора $A$ и СВ оператора $B$.

нет, конечно:)))

Ну... надо начинать так: ПУСТЬ $Av=\lambda v$, тогда...

ну и конечно, для начала рассматривать $f(x,y)=x+y$, $f(x,y)=xy$...

[Dandan]

caxap в сообщении #396711 писал(а):

Можно сказать, что множество СВ $f(A,B)$ включает в себя СВ оператора $A$ и СВ оператора $B$.

пересечение этих СВ да, но не объединение

[caxap]

Пусть $Av=\lambda v$, тогда $ABv=BAv=B(\lambda v)=\lambda Bv$, то есть $Bv$ -- СВ $A$ c СЗ $\lambda$.

$(A+B)v=Av+Bv=\lambda v+Bv$. Так как $\lambda v$ и $Bv$ -- СВ $A$ с СЗ $\lambda$, то их сумма тоже будет СВ с тем же СЗ.

А куда дальше двигаться?

[paha]

Dandan в сообщении #396716 писал(а):

пересечение этих СВ да, но не объединение

ну, у векторов нет "пересечения":) Общие вектора -- да

-- Сб янв 08, 2011 15:59:04 --

caxap в сообщении #396718 писал(а):

Пусть $Av=\lambda v$, тогда $ABv=BAv=B(\lambda v)=\lambda Bv$, то есть $Bv$ -- СВ $A$ c СЗ $\lambda$.

а теперь: пусть $V$ -- собственное подпространство $A$, тогда...

[caxap]

А можно вопрос: что мы вообще хотим получить?

[paha]

caxap в сообщении #396746 писал(а):

А можно вопрос: что мы вообще хотим получить?

собственные числа $f(A,B)$

[caxap]

Обозначим через $L(A,\lambda)$ -- собственное подпространство оператора $A$, отвечающее СЗ $\lambda$.

Если $v\in L(A,\lambda)$, то $(A+B)v=Av+Bv=\lambda v+Bv$. То есть $v\in L(A+B,\lambda)\iff v\in L(A,\lambda)\land v\in L(B,\lambda)$, то есть $\lambda$ -- общее СЗ $A$ и $B$.

Если $v\in L(A,\lambda)\land v\in L(B,\lambda)$, то $ABv=A(\lambda v)=\lambda^2 v$, то есть $v\in L(AB,\lambda^2)$. И вообще у любого произведения $A^k B^m$, $v\in L(A^kB^m,\lambda^{k+m})$.

С произвольным многочленом не разберусь.

-- 08 янв 2011, 17:07 --

P. S. Ну а по исходной задаче я так и не понял: я верно понимаю, что у $A^2$ будет все те же СЗ, что и у $A$, только в квадрате (СВ те же)? То же с $A^{-1}$, только там не в квадрате, а обратные СЗ? (Если учитывать, что пространство $n$-мерное, а у $A$ $n$ различных СЗ.)

[Dandan]

caxap в сообщении #396777 писал(а):

P. S. Ну а по исходной задаче я так и не понял: я верно понимаю, что у $A^2$ будет все те же СЗ, что и у $A$, только в квадрате (СВ те же)? То же с $A^{-1}$, только там не в квадрате, а обратные СЗ? (Если учитывать, что пространство $n$-мерное, а у $A$ $n$ различных СЗ.)

верно, но у $A^2$ могут появиться и другие с.в. (хотя в случае невырожденной А такого не будет)

[caxap]

Dandan в сообщении #396794 писал(а):

верно, но у $A^2$ могут появиться и другие с.в. (хотя в случае невырожденной А такого не будет)

Но если $A$ имеет $n$ различных действительных СЗ, то она приводится к диагональному виду, а поэтому невырождена.

-- 08 янв 2011, 17:54 --

caxap в сообщении #396777 писал(а):

С произвольным многочленом не разберусь

Кажись догнал: если $v\in L(A,\lambda)$ и $v\in L(B,\lambda)$, то $v\in L(f(A,B),f(\lambda))$. Так?

[paha]

caxap в сообщении #396814 писал(а):

Кажись догнал: если $v\in L(A,\lambda)$ и $v\in L(B,\lambda)$, то $v\in L(f(A,B),f(\lambda))$. Так?

$f$ -- многочлен от двух переменных

[caxap]

Ой, пардон, я туплю по страшному

Ну хотя бы это правильно:
Если $v\in L(A,\lambda)$ и $ v\in L(B,\lambda)$, то $v\in L(A+B,\lambda)$, $v\in L(AB,\lambda^2)$, $v\in L(A^kB^m,\lambda^{k+m})$ ? И если экстраполировать, то $v\in L(f(A,B),f(\lambda,\lambda)$.