Или формулы Ньютона--Лейбница. Идея док-ва такова. Достаточно смотреть композиции только с гладкими функциями распределения (поскольку интересуют только значения в вершинах), а там уже всё понятно:
![$$\Delta_{a_1,b_1}\ldots\Delta_{a_n,b_n}f\circ F=\int_{[a,b]}\frac{\partial^nf(F(x_1,\ldots,x_n))}{\partial x_1\ldots\partial x_n}\,\mathrm dx_1\ldots\mathrm dx_n,$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/d/0cd51ea02cb3fafa950bf0c6f047260e82.png "$$\Delta_{a_1,b_1}\ldots\Delta_{a_n,b_n}f\circ F=\int_{[a,b]}\frac{\partial^nf(F(x_1,\ldots,x_n))}{\partial x_1\ldots\partial x_n}\,\mathrm dx_1\ldots\mathrm dx_n,$$")
производная неотрицательна, что проверяется непосредственным дифференцированием. Это что касается достаточности. Необходимость тоже должна получаться из этих соображений, но тут я особо не заморачивался с док-вом, поэтому это может оказаться и неправдой
.
А всё-таки интересно. Если не предполагать гладкость изначально, то насколько гладкой обязана быть
? Случаи
(непрерывность справа + непрерывность в
) и
(выпуклость (в частности, непрерывность) + непрерывность в
и
) более-менее понятны. А как обстоит дело при
?
