Посчитать определитель матрицы

[Legioner93]

Посчитать определитель матрицы произвольного порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах — двойки. Что-то не выходит, как решать? Свести к диагональной не получается, не видно ни какой закономерности. Подскажите, как решать? Спасибо.

[ShMaxG]

На примере:

$\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ \end{array} } \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & { - 1} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & { - 1} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array} } \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & { - 1} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & { - 1} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array} } \right)\]$


И так далее, попробуйте.

[paha]

ShMaxG в сообщении #395358 писал(а):

Попробуйте найти собственные числа этой матрицы.

с кратностями!!!

[mihailm]

paha в сообщении #395360 писал(а):

с кратностями!!!

(Оффтоп)

и дробностями

[paha]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #395363 писал(а):

и дробностями

нет... здесь именно с тем, что я сказал -- у собственных чисел нет дробности

[Legioner93]

ShMaxG
Да, спасибо, получилось! Ответ $(2n-1) \cdot (-1)^{n-1}$. А собственных чисел у нас еще не было.
Буду следующие примеры делать, сюда тогда писать буду, если что:)

[paha]

а я бы так действовал... $f(\lambda)=\det(A-\lambda E)=C(1+\lambda)^{n-1}(\lambda-\lambda_0)$... и продифференцировал бы равенство по $\lambda$ в точке $\lambda=-1$... авось повезет:)))

[ShMaxG]

Legioner93
Ну да, но я надеюсь, что Вы осмыслили, что определители матриц элементарных преобразований здесь равны 1.

-- Вт янв 04, 2011 23:56:23 --

paha
А что бы это значало, не пойму?

[Legioner93]

ShMaxG
Да-да, это я знаю. Теорию я прочел, но опыта нет пока:) Нужна практика, чтобы вот такие решения находить.

[fara2]

для меня проще считать через миноры, теория в Куроше Курс высшей алгебры.

[Legioner93]

Теперь вот на такой заступорился. Может быть, тоже намекнете?:) обычным методом Гаусса не получается привести к диагональной. Что-то не вижу, как тут хитро сделать нужно.
$\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 1 & 0 & 0 & .. & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & .. & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & .. & 0 & 0 \\ .. & .. & .. & .. & .. & .. & .. \\ 0 & 0 & 0 & 0 & .. & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & .. & 1 & 2 \\ \end{array} } \right) \]$

[ShMaxG]

$\[\det {A_n} = 2\det {A_{n - 1}} - 1 \cdot \det {A_{n - 2}}\]$

Вот так.

[Legioner93]

Да, большое спасибо! Всё сошлось. Получается $\det A_{n}=n-1$

[ShMaxG]

Нет, правильный ответ -- $n+1$.

Кстати, здесь вот вылезло реккурентное уравнение:

$\[{a_{n + 2}} = 2{a_{n + 1}} - {a_n}\]$

Чтобы его решить, можно воспользоваться "методом аннигиляторов". Составляется характеристическое уравнение:

$\[{\lambda ^2} - 2\lambda + 1 = 0\]$

Отсюда получаем один корень равный 1 кратности 2. Значит, надо искать решение в виде $\[{a_n} = {C_1}n + {C_2}\]$. Константы находятся из "начальных условий".

Подробнее в http://www.cs.uiuc.edu/class/sp07/cs473g/lectures/x00-recurrences.pdf

Я на форуме уже о нем говорил. Вообще фанатею от этого метода

[paha]

del

-- Ср янв 05, 2011 01:30:45 --

ShMaxG в сообщении #395403 писал(а):

Я на форуме уже о нем говорил. Вообще фанатею от этого метода

я об этом методе у арнольда прочел... в ОДУ