2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Объявляю конкурс на самую сложную олимпиадную задачу
Сообщение04.01.2011, 15:13 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Очевидно, что знаменателем рациональных корней может быть только 3. Причем все корни не могут иметь знаменатель 3. Пусть $a$ - целый корень. Тогда $n=3a^2(1-a)$.
Два других корня удовлетворяют условию:
$x_1+x_2=1-a$
$x_1x_2=\frac{-n}{3a}=a(a-1)$.
Дискриминант для этих корней $D=(1-a)^2-4a^2+4a=(3a+1)(1-a)$.
Если $a>1$, то $D<0$ - нет других корней. Аналогично в случае $a<0$ (a- целое).
Случаи $a=0$ и $a=1$ соответствуют $n=0$. В этом случае все корни рациональные (0,0,1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Объявляю конкурс на самую сложную олимпиадную задачу
Сообщение04.01.2011, 16:55 


03/01/11

61
Руст в сообщении #395172 писал(а):
Очевидно, что знаменателем рациональных корней может быть только 3. Причем все корни не могут иметь знаменатель 3. Пусть $a$ - целый корень. Тогда $n=3a^2(1-a)$.
Два других корня удовлетворяют условию:
$x_1+x_2=1-a$
$x_1x_2=\frac{-n}{3a}=a(a-1)$.
Дискриминант для этих корней $D=(1-a)^2-4a^2+4a=(3a+1)(1-a)$.
Если $a>1$, то $D<0$ - нет других корней. Аналогично в случае $a<0$ (a- целое).
Случаи $a=0$ и $a=1$ соответствуют $n=0$. В этом случае все корни рациональные (0,0,1).

Ну значит не такая уж и сложная...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gagarin1968


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group