Линейные операторы. Задачки

[caxap]

4.11. Найти матрицу лин. оператора в $\mathbb R^3$, переводящего векторы $a_1,a_2,a_3$ в векторы $b_1,b_2,b_3$, в том же базисе, в котором указаны координаты векторов: $a_1=(2,3,5)^\top$, $b_1=(1,1,1)^\top$ ...

Верно ли я думаю, что матрицей лин. оператора, переводящий $a_i$ в $b_i$, будет матрица перехода от базиса $a_i$ к $b_i$. Если да, то решение такое: пусть координаты $a_i$, $b_i$ даны в некотором базисе $g$. Тогда матрицей перехода от $g$ к $a=(a_i)$ будет матрица $P_{ga}=(a_1\ a_2\ a_3)$ (записал как блочную). Аналогично $P_{gb}$. Тогда $P_{ab}=P_{ga}^{-1}P_{gb}$. Эта матрица и будет матрицей оператора в базисе $g$ (вот тут я не уверен! может и не в $g$...)

4.13. Как изменится матрица лин. оператора, если в базисе $(e_1,\ldots,e_n)$ поменять местами $e_i$ и $e_j$?

Поменяются местами $i$-й и $j$-й столбец (т. к. образы базисных векторов составляют столбцы матрицы), а также $i$-я и $j$-я строка (т. к. сами базисные векторы поменялись).

1.14. см. тут. Я так и не узнал, правильно решил или нет.

[caxap]

В 4.11. бред написал, не читайте там . Вот так, наверное, правильно должно быть:
На всякий случай напишу все данные векторы: $a_1=(2,3,5)^\top$, $b_1=(1,1,1)^\top$, $a_2=(0,1,2)^\top$, $b_2=(1,1,-1)^\top$, $a_3=(1,0,0)^\top$, $b_3=(2,1,2)^\top$.

Если из определения матрицы лин. отображения (назовём её $C$) исходить, получим $Ca_i=b_i$, а это 3 СЛАУ:

$$\begin{cases}2c_{11}+3c_{12}+5c_{13}=1\\ 0c_{11}+1c_{12}+2c_{13}=1\\ 1c_{11}+0c_{12}+0c_{13}=2\end{cases}\iff c_1=(2,-11,6)$$

Ещё две аналогичные СЛАУ и получаем

$$C=\begin{pmatrix}2&-11&6\\1&-7&4\\2&-1&0\end{pmatrix}$$

Я проверил: $Ca_1$ даёт $b_1$ и т. д, то есть матрица, похоже, составлена верно и базис тот же, в каком даны $a_i$ и $b_i$. Но может как-то проще можно решить, без трёх системок?