2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма, сумма квадратов и наибольшее число
Сообщение03.01.2011, 14:27 


03/01/11

61
Сумма пяти действительных чисел равна 8, а сумма их квадратов равна 16. Какое максимальное значение может принимать наибольшее из этих пяти чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма, сумма квадратов и наибольшее число
Сообщение03.01.2011, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Данные числа -- координаты точек трехмерной сферы с центром в точке $\frac{8}{5}(1,1,1,1,1)$ радиуса $4/\sqrt{5}$, лежащей в пересечении гиперплоскости $\sum x_i=8$ и 4-сферы $\sum x_i^2=16$.

Таким образом, данные пять чисел имеют вид $x_i=\frac{8}{5}+\frac{4a_i}{\sqrt{5}}$, где $\sum a_i=0$ и $\sum a_i^2=1$.

Таким образом мы свели первоначальную задачу к задаче с нулем вместо 8 и 1 вместо 16. Очевидно, в экстремальнй конфигурации $a_1>0$, $a_2=\ldots=a_5=-a_1/4$, поэтому $a_1=2/\sqrt{5}$ и искомое наибольшее значение равно
$$
\frac{16}{5}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма, сумма квадратов и наибольшее число
Сообщение03.01.2011, 15:53 


19/05/10

3940
Россия
Это похоже на олимпиаду

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма, сумма квадратов и наибольшее число
Сообщение03.01.2011, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
ну я, собственно, просто угадал ответ:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма, сумма квадратов и наибольшее число
Сообщение03.01.2011, 16:19 


03/01/11

61
paha в сообщении #394861 писал(а):
Данные числа -- координаты точек трехмерной сферы с центром в точке $\frac{8}{5}(1,1,1,1,1)$ радиуса $4/\sqrt{5}$, лежащей в пересечении гиперплоскости $\sum x_i=8$ и 4-сферы $\sum x_i^2=16$.

Таким образом, данные пять чисел имеют вид $x_i=\frac{8}{5}+\frac{4a_i}{\sqrt{5}}$, где $\sum a_i=0$ и $\sum a_i^2=1$.

Таким образом мы свели первоначальную задачу к задаче с нулем вместо 8 и 1 вместо 16. Очевидно, в экстремальнй конфигурации $a_1>0$, $a_2=\ldots=a_5=-a_1/4$, поэтому $a_1=2/\sqrt{5}$ и искомое наибольшее значение равно
$$
\frac{16}{5}
$$

У Вас очень красивое решение, требующее однако знаний, выходящих за рамки школьной математики.
А олимпиада-то школьная была.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма, сумма квадратов и наибольшее число
Сообщение03.01.2011, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
glorius_May в сообщении #394877 писал(а):
У Вас очень красивое решение, требующее однако знаний, выходящих за рамки школьной математики.
А олимпиада-то школьная была.

ну, можно про сферы не говорить, а искать все такие пятеруи чисел в естественном виде
$$
x_i=\frac{8}{5}+a_i,\quad \sum a_i=0
$$
Тогда
$$
16=\sum x_i^2=\sum \left(\frac{8}{5}+a_i\right)^2=\frac{64}{5}+\sum a_i^2
$$
откуда $\sum a_i^2=16/5$.

Самым большим $a_i$ может быть только тогда, когда оно положительно, а остальные равны отрицательны (сумма квадратов чисел с данной суммой наименьшая, когда все числа одинаковы), откуда
paha в сообщении #394861 писал(а):
$a_1>0$, $a_2=\ldots=a_5=-a_1/4$

и легко получаем $a_1=8/5$, $a_2=\ldots=a_5=-2/5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма, сумма квадратов и наибольшее число
Сообщение03.01.2011, 16:58 


03/01/11

61
paha в сообщении #394885 писал(а):
ну, можно про сферы не говорить, а искать все такие пятеруи чисел в естественном виде
$$
x_i=\frac{8}{5}+a_i,\quad \sum a_i=0
$$
Тогда
$$
16=\sum x_i^2=\sum \left(\frac{8}{5}+a_i\right)^2=\frac{64}{5}+\sum a_i^2
$$
откуда $\sum a_i^2=16/5$.

Самым большим $a_i$ может быть только тогда, когда оно положительно, а остальные равны отрицательны (сумма квадратов чисел с данной суммой наименьшая, когда все числа одинаковы), откуда
paha в сообщении #394861 писал(а):
$a_1>0$, $a_2=\ldots=a_5=-a_1/4$

и легко получаем $a_1=8/5$, $a_2=\ldots=a_5=-2/5$

А как насчет второй задачи? topic40551.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма, сумма квадратов и наибольшее число
Сообщение03.01.2011, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Элементарное решение получается с помощью множителей Лагранжа. Не теряя общности можно предположить, что наибольшее число - первое. Там получается система из пяти уравнений, причём последние четыре уравнения совпадают. Отсюда следует, что числа, не являющиеся максимальными, совпадают. Дальнейшее элементарно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма, сумма квадратов и наибольшее число
Сообщение03.01.2011, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
мат-ламер в сообщении #394972 писал(а):
с помощью множителей Лагранжа

glorius_May в сообщении #394877 писал(а):
А олимпиада-то школьная была.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group