Сумма, сумма квадратов и наибольшее число

[glorius_May]

Сумма пяти действительных чисел равна 8, а сумма их квадратов равна 16. Какое максимальное значение может принимать наибольшее из этих пяти чисел?

[paha]

Данные числа -- координаты точек трехмерной сферы с центром в точке $\frac{8}{5}(1,1,1,1,1)$ радиуса $4/\sqrt{5}$, лежащей в пересечении гиперплоскости $\sum x_i=8$ и 4-сферы $\sum x_i^2=16$.

Таким образом, данные пять чисел имеют вид $x_i=\frac{8}{5}+\frac{4a_i}{\sqrt{5}}$, где $\sum a_i=0$ и $\sum a_i^2=1$.

Таким образом мы свели первоначальную задачу к задаче с нулем вместо 8 и 1 вместо 16. Очевидно, в экстремальнй конфигурации $a_1>0$, $a_2=\ldots=a_5=-a_1/4$, поэтому $a_1=2/\sqrt{5}$ и искомое наибольшее значение равно

$$ \frac{16}{5} $$

[mihailm]

Это похоже на олимпиаду

[paha]

ну я, собственно, просто угадал ответ:)

[glorius_May]

paha в сообщении #394861 писал(а):

Данные числа -- координаты точек трехмерной сферы с центром в точке $\frac{8}{5}(1,1,1,1,1)$ радиуса $4/\sqrt{5}$, лежащей в пересечении гиперплоскости $\sum x_i=8$ и 4-сферы $\sum x_i^2=16$.

Таким образом, данные пять чисел имеют вид $x_i=\frac{8}{5}+\frac{4a_i}{\sqrt{5}}$, где $\sum a_i=0$ и $\sum a_i^2=1$.

Таким образом мы свели первоначальную задачу к задаче с нулем вместо 8 и 1 вместо 16. Очевидно, в экстремальнй конфигурации $a_1>0$, $a_2=\ldots=a_5=-a_1/4$, поэтому $a_1=2/\sqrt{5}$ и искомое наибольшее значение равно

$$ \frac{16}{5} $$

У Вас очень красивое решение, требующее однако знаний, выходящих за рамки школьной математики.
А олимпиада-то школьная была.

[paha]

glorius_May в сообщении #394877 писал(а):

У Вас очень красивое решение, требующее однако знаний, выходящих за рамки школьной математики.
А олимпиада-то школьная была.

ну, можно про сферы не говорить, а искать все такие пятеруи чисел в естественном виде

$$ x_i=\frac{8}{5}+a_i,\quad \sum a_i=0 $$

Тогда

$$ 16=\sum x_i^2=\sum \left(\frac{8}{5}+a_i\right)^2=\frac{64}{5}+\sum a_i^2 $$

откуда $\sum a_i^2=16/5$.

Самым большим $a_i$ может быть только тогда, когда оно положительно, а остальные равны отрицательны (сумма квадратов чисел с данной суммой наименьшая, когда все числа одинаковы), откуда

paha в сообщении #394861 писал(а):

$a_1>0$, $a_2=\ldots=a_5=-a_1/4$

и легко получаем $a_1=8/5$, $a_2=\ldots=a_5=-2/5$

[glorius_May]

paha в сообщении #394885 писал(а):

ну, можно про сферы не говорить, а искать все такие пятеруи чисел в естественном виде

$$ x_i=\frac{8}{5}+a_i,\quad \sum a_i=0 $$

Тогда

$$ 16=\sum x_i^2=\sum \left(\frac{8}{5}+a_i\right)^2=\frac{64}{5}+\sum a_i^2 $$

откуда $\sum a_i^2=16/5$.

Самым большим $a_i$ может быть только тогда, когда оно положительно, а остальные равны отрицательны (сумма квадратов чисел с данной суммой наименьшая, когда все числа одинаковы), откуда

paha в сообщении #394861 писал(а):

$a_1>0$, $a_2=\ldots=a_5=-a_1/4$

и легко получаем $a_1=8/5$, $a_2=\ldots=a_5=-2/5$

А как насчет второй задачи? topic40551.html

[мат-ламер]

Элементарное решение получается с помощью множителей Лагранжа. Не теряя общности можно предположить, что наибольшее число - первое. Там получается система из пяти уравнений, причём последние четыре уравнения совпадают. Отсюда следует, что числа, не являющиеся максимальными, совпадают. Дальнейшее элементарно.

[paha]

мат-ламер в сообщении #394972 писал(а):

с помощью множителей Лагранжа

glorius_May в сообщении #394877 писал(а):

А олимпиада-то школьная была.