Существует ли такая арифметика?

[venco]

goldbash в сообщении #393193 писал(а):

3ч.) Другая идея это prime basis, я говорю что Gödel numbering "похоже" потому что там тоже используется эта идея. Её суть проста - всякому элементу из $\mathbb{Q}$, например $140/11 = 2^2 3^0 5^1 7^1 11^{-1} 13^0 \dots$ (и только так - основная теорема арифметики), можно поставить в соответствие элемент из $\mathbb{Z}^\infty$, в данном случае - $(2, 0, 1, 1, -1, 0, ...)$ (тоже только так - единственность разложения по базису). Т.е. всякому конечному числу из $\mathbb{Q}$ соответсвует конечное число из $\mathbb{Z}^\infty$, и наоборот. Однако $\mathbb{Z}^\infty$ - несчётно, т.е. в области бесконечных "чисел" (векторов) в $\mathbb{Z}^\infty$ есть что-то, чего нет в $\mathbb{Q}$ - что это?

В данном случае используются только конечные элементы $\mathbb{Z}^\infty$, а их множество вполне счётно.

(Оффтоп)

Я сам на этом накалывался.

А бесконечные элементы $\mathbb{Z}^\infty$ при таком сопоставлении покрывают иррациональные числа, также как и бесконечные десятичные дроби.

[Someone]

goldbash в сообщении #393193 писал(а):

Обычно берут поле и в нём выделяют множество простых элементов (однозначность разложения на которые может быть, а может и нет).

Нет. Берут область целостности - ассоциативно-коммутативное кольцо $D$ без делителей нуля и с единичным элементом (нейтральным элементом для умножения, не совпадающим с нулевым элементом). В нём выделяют группу обратимых элементов, которые иногда называются единицами кольца (но они, вообще говоря, нейтральными элементами для умножения не являются). Множество необратимых ненулевых элементов обозначим $D'$. Два элемента кольца $a$ и $b$ называются ассоциированными, если существует такой обратимый элемент $e$, что $a=be$. Элемент $b\in D'$ называется разложимым, если существуют такие $b,c\in D'$, что $a=bc$. Неразложимые элементы $D'$ называются простыми.
Так что простые элементы не "выделяют", а определяют.
Область целостности всегда можно вложить в поле (есть стандартная конструкция - поле частных).
Если описанные определения применить к полю, то в нём простых элементов не будет ни одного.

goldbash в сообщении #393193 писал(а):

Да, всё это не имеет отношение к нестандартному анализу - обычные теоретико-множественные и алгебраические построения.

Вообще-то, нестандартные модели арифметики Пеано не обязательно имеют отношение к нестандартному анализу.
Но то, что строите Вы, к тому, что обычно понимают под "арифметикой", имеет более чем отдалённое отношение.

[vek88]

goldbash в сообщении #391740 писал(а):

Здравствуйте.

Столкнулся с возможностью построить арифметику с довольно странными свойствами, поэтому интересуюсь.

Под арифметикой подразумеваются обычные целые числа и кольцо над ними, плюс некоторые основные законы которые тут возникают (о делимости, простых числах и т.п.). Так вот, нет ли такой модели арифметики в которой все эти законы остаются в силе, но сами числа этой арифметики несчётные (в отличии от счётных целых (или натуральных) чисел "обычной" арифметики)?

Да, речь не про R, конечно, эти числа по-прежнему дискретны.

ИМХО все зависит от того, как определить понятие множества. Тогда счетность означает существование нумерации натуральными числами, согласующейся с эти понятием множества. Вот один пример: post284733.html#p284733.

Можно еще проще. Сидим в классе рекурсивно перечислимых (РП) множеств. Множествами объявляем разрешимые РП множества (РП множества, дополнения которых РП). Соответственно - счетные множества - это множества, для которых существует их разрешимая РП нумерация натуральными числами, т.е. это разрешимые РП множества. Тогда неразрешимое РП множество не является счетным (в то же время - дискретно в Вашем смысле).

Что касается арифметики, построим ее на подходящем неразрешимом РП множестве (ИМХО это возможно) - получим несчетную арифметику.

[Николай]

vek88 в сообщении #394452 писал(а):

Множествами объявляем разрешимые РП множества (РП множества, дополнения которых РП).

Чувствуется некое логическое противоречие, когда понятие "множество" определяется через понятие "множество". Я как-то привык, что это неопределяемое понятие.

[vek88]

Николай в сообщении #394493 писал(а):

Чувствуется некое логическое противоречие, когда понятие "множество" определяется через понятие "множество".

Ну мы ж здесь не диссер на мехмате защищаем. Можно бы и догадаться о чем идет речь. РП множество - это РП множество в стандартном смысле. А множество - это множество в новом смысле (если хотите - NEW-множество). Где ж здесь противоречие - или Вы не можете это понять правильно?

[Николай]

vek88 в сообщении #394544 писал(а):

Ну мы ж здесь не диссер на мехмате защищаем. Можно бы и догадаться о чем идет речь. РП множество - это РП множество в стандартном смысле. А множество - это множество в новом смысле (если хотите - NEW-множество). Где ж здесь противоречие - или Вы не можете это понять правильно?

Да я не протестую.

Давайте тогда построим пример такого множества. То есть множества, не являющегося рекурсивно перечислимым (какой, кстати, оно будет мощности?) и дискретным.

[vek88]

vek88 в сообщении #394452 писал(а):

Тогда неразрешимое РП множество не является счетным (в то же время - дискретно в Вашем смысле).

У меня было неразрешимое РП множество. А Вы предлагаете

Николай в сообщении #394643 писал(а):

То есть множества, не являющегося рекурсивно перечислимым (какой, кстати, оно будет мощности?) и дискретным.

В качестве примера "моего" множества берем стандартное диагональное множество (строится через универсальное РП множество). См., например, Мартин-Леф Очерки по конструктивной математике. Совсем кратко диагоноальное множество можно пояснить так:

1. Строится универсальное РП отношение $U(x,y)$, где $x$ - геделевский номер РП множества натуральных чисел $y$.

2. Диагональное множество - это множество геделевских номеров $n$ таких, которые не принадлежат РП множеству натуральных чисел с геделевским номером $n$.

В качестве примера Вашего берем стандартное диагональное К-множество. См. Представление в ЭВМ неформальных процедур.

И то и другое - это множества (в обычном смысле) слов в определенном конечном алфавите - в этом смысле они дискретны. В новом смысле - они не множества, а некие несчетные (в новом смысле) "классы".

А мощность - дык у нас (в новом смысле) все бесконечные множества счетны и, сл-но, равномощны друг другу.

Другими словами, несчетные "классы" есть, но они не являются множествами (в новом смысле).

Имея диагональное множество (в старом смысле) натуральных чисел, строим над ним несчетную (в новом смысле) арифметику.

ИМХО за что боролись, на то и напоролись - получили несчетную дискретную арифметику.