l^p

[moscwicz]

Тоже с натяжкой олимпиадная. Доказать, что $l^p$ неизоморфно $l^q$ при $p,q\ge 1,\quad p\ne q$

[id]

$l^p$ есть пополнение $c_{00}$ по соответствующей норме.
Значит, достаточно показать что $(c_{00},\| \cdot \|_p)$ не изоморфно $(c_{00},\| \cdot \|_q)$ при $p\neq q$.

Интересно, это что-нибудь упрощает?

[AGu]

id в сообщении #394373 писал(а):

$l^p$ есть пополнение $c_{00}$ по соответствующей норме.
Значит, достаточно показать что $(c_{00},\| \cdot \|_p)$ не изоморфно $(c_{00},\| \cdot \|_q)$ при $p\neq q$.

Хмм...
Например, $\ell^p$ является пополнением $\ell^p$ и пополнением $(c_{00},\|{\cdot}\|_p)$.
Ясно, что $(c_{00},\|{\cdot}\|_p)$ не изоморфно $\ell^p$.
«Следовательно», $\ell^p$ не изоморфно $\ell^p$.

[Padawan]

А вот уже была тема с аналогичным названием http://dxdy.ru/topic29268.html. Про теорему Питта. Там доказали, что линейный ограниченный оператор из $l_p$ в $l_q$ при $p\neq q$ компактен (в какую-то сторону). Так что топологического линейного изморфизма между ними быть не может.

[id]

AGu
Да, что-то не то выходит.
Изоморфизм пространств-пополнений не обязан переводить плотно вложенные исходное подпространства друг в друга, отсюда и ошибка.