l_p

[terminator-II]

Доказать, что всякий ограниченный оператор $A:l_r\to l_p,\quad 1\le p<r<\infty$ компактен.

[id]

Для частного случая $r=2$, $p=1$ можно воспользоваться тем, что если для рефлексивного банахова $X$ и $A \in \mathcal{L}(X,Y)$ $A$ переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно, то он компактен. А, как известно, в $l_1$ слабая сходимость совпадает с сильной.

[Padawan]

$l_r$ все рефлексивны при $1<r<\infty$. В Антоневиче, Радыно есть задача (стр. 112, №61) : "Если банахово пространство $E$ рефлексивно, то любой
оператор $T\in\mathcal{L}(E, l_1)$ вполне непрерывен.

[id]

Ну да, именно. Работает та же самая аргументация про сходимость в $l_1$.
А вот что делать в общем случае - интересно...

[Padawan]

Может утверждение и неверно.

[nckg]

Википедия писал(а):

In fact, by Pitt's theorem (Pitt 1936), every bounded linear operator from $\ell_r$ to $\ell_p$ is compact when $p<r$

А как проверить хотя бы компактность вложения $\ell_r$ в $\ell_p$? Т.е. рассмотреть случай $A=I$ сначала.

[terminator-II]

nckg в сообщении #279583 писал(а):

Википедия писал(а):

In fact, by Pitt's theorem (Pitt 1936), every bounded linear operator from $\ell_r$ to $\ell_p$ is compact when $p<r$

А как проверить хотя бы компактность вложения $\ell_r$ в $\ell_p$? Т.е. рассмотреть случай $A=I$ сначала.

вообщето $\ell_p\subset\ell_r$

[nckg]

согласен, запутался я, переделывая $s$ на $r$ в цитате из википедии

[id]

Так оно не компактно вроде как. Можно те же самые орты рассмотреть, критерий компактности ( который $\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k=n}^{\infty} ... =0$) не выполняется .

По крайней мере, с данным "каноническим" вложением.

[Padawan]

А в конечномерном случае есть формула, выражающая норму оператора $A\colon l_r(n)\to l_p(n)$ через коэффициенты его матрицы?

[ewert]

terminator-II в сообщении #279585 писал(а):

вообщето $\ell_p\subset\ell_r$

и, соответственно, единичный оператор не ограничен

-- Вт янв 12, 2010 08:51:47 --

Padawan в сообщении #279671 писал(а):

А в конечномерном случае есть формула, выражающая норму оператора $A\colon l_r(n)\to l_p(n)$ через коэффициенты его матрицы?

Ну, если учесть, что нет явной формулы даже для $A\colon l_2(n)\to l_2(n)$...

[nckg]

Рассмотрим случай $p=r'={r\over r-1}$.
Пусть $(x_n)\subset \ell_r$ --- ограниченная последовательность.
Тогда в силу ограниченности $A$ последовательность $(A x_n)$ ограничена в $\ell_{r'}$.
Теорема. Пусть б.п. $X$ сепарабельно. Тогда $M\subset X^*$ компактно $\Leftrightarrow$ оно ограничено.
$\ell_p$ сепарабельно, поэтому из ограниченности $(A x_n)$ следует компактность $(A x_n)$.

[Padawan]

ewert в сообщении #279673 писал(а):

terminator-II в сообщении #279585 писал(а):

вообщето $\ell_p\subset\ell_r$

и, соответственно, единичный оператор не ограничен

Хм... А $l_1\to l_2$ ограничен:

$$||(x_n)||_2=\left(\sum_n |x_n|^2\right)^{1/2}\leq\left(\sum_n |x_n|^2+2\sum_{i<j} |x_i|\cdot |x_j|\right)^{1/2}=\left(\left (\sum_n |x_n|\right )^2\right)^{1/2}=||(x_n)||_1$$

.

Аналогично $l_p\to l_{np}$ ограничен для всех $n\in\mathrm{N},\quad p\geq 1$. А в общем случае не ограничен?

nckg в сообщении #279687 писал(а):

Теорема. Пусть б.п. $X$ сепарабельно. Тогда $M\subset X^*$ компактно $\Leftrightarrow$ оно ограничено.

В *-слабой топологии. А надо в сильной.

[ewert]

Padawan в сообщении #279688 писал(а):

Хм... А $l_1\to l_2$ ограничен:

Естественно. Вообще вложение из $l_p$ в $l_r$ ограничено (с нормой оператора, равной единице) при любых $1\leqslant p<r\leqslant+\infty$. Но ведь запрашивалась-то ограниченность обратного оператора.

[Padawan]

ewert в сообщении #279693 писал(а):

Padawan в сообщении #279688 писал(а):

Хм... А $l_1\to l_2$ ограничен:

Естественно.

Понял, спасибо.