Добрый вечер.
Интересует такой вопрос (вообще ступор какой-то).
Когда верно (и когда не верно) следующее:
![$\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},...,{x_n}} f\left( {{x_1},...,{x_n}} \right) = \mathop {\min }\limits_{{x_1}} \mathop {\min }\limits_{{x_2}} ...\mathop {\min }\limits_{{x_n}} f\left( {{x_1},...,{x_n}} \right)\]$ $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},...,{x_n}} f\left( {{x_1},...,{x_n}} \right) = \mathop {\min }\limits_{{x_1}} \mathop {\min }\limits_{{x_2}} ...\mathop {\min }\limits_{{x_n}} f\left( {{x_1},...,{x_n}} \right)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/4/7e48b7aee7e93f1b929f049cce5e14d882.png)
Вопрос -- в общей постановке (множество, на котором заданы координаты может быть как открытым, так и замкнутым, ограниченным и неограниченным)...
По-моему это верно, когда минимизация подразумевает поиск глобального минимума, локальные решения могут теряться... А может и нет, вот не могу сообразить никак...
-- Сб янв 01, 2011 20:02:12 --Будем считать, что функция двух переменных задана (пусть она будет непр. дифф.), например, на открытом ограниченном множестве, тогда интересует всегда ли
![$\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right) = \mathop {\min }\limits_{{x_1}} \mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]
$ $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right) = \mathop {\min }\limits_{{x_1}} \mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/b/fcbf0562e9cf701632861ab230c7608482.png)
, где минимумы -- локальные.
Решение "задачи"
![$\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$ $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/4/4e4fc58dcaf28dc221bc16a3576add5d82.png)
находится из системки:
![$\[f'\left( x \right) = 0\]$ $\[f'\left( x \right) = 0\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/a/c1a44c5a440444f9ff497a572dd412f082.png)
(ну понятно, что я имел ввиду).
Решение "задачи"
![$\[\mathop {\min }\limits_{{x_1}} \mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$ $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1}} \mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/d/59d2b1f81e586d0f5341e6f2786408cc82.png)
находится в 2 этапа:
1)
![$\[\mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$ $\[\mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/8/dd8103c65cefbab484f578b6e43d106f82.png)
При фиксированном

находим стационарные точки:
![$\[\frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}} \right)}}
{{\partial {x_2}}} = 0 \Rightarrow x_2^* = {x_2}\left( {{x_1}} \right)\]$ $\[\frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}} \right)}}
{{\partial {x_2}}} = 0 \Rightarrow x_2^* = {x_2}\left( {{x_1}} \right)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/9/2591413a2a82bde44a7c683c26ddc10382.png)
. И пусть
![$\[\mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right) = f\left( {{x_1},x_2^*} \right) = f\left( {{x_1},{x_2}\left( {{x_1}} \right)} \right) = h\left( {{x_1}} \right)\]$ $\[\mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right) = f\left( {{x_1},x_2^*} \right) = f\left( {{x_1},{x_2}\left( {{x_1}} \right)} \right) = h\left( {{x_1}} \right)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/a/daa885736f2ddf801ff7eba063651b9782.png)
.
2)
![$\[\mathop {\min }\limits_{{x_1}} h\left( {{x_1}} \right)\]$ $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1}} h\left( {{x_1}} \right)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/1/b8181dffb89ff62b7a4ff6758390326e82.png)
Аналогично,
![$\[0 = \frac{{dh}}
{{d{x_1}}} = \frac{{df\left( {{x_1},{x_2}\left( {{x_1}} \right)} \right)}}
{{d{x_1}}} = \frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}\left( {{x_1}} \right)} \right)}}
{{\partial {x_2}}}\frac{{d{x_2}}}
{{d{x_1}}} + \frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}} \right)}}
{{\partial {x_1}}}\left| \begin{gathered}
\hfill \\
{x_2} = {x_2}\left( {{x_1}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. = \frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}} \right)}}
{{\partial {x_1}}}\left| \begin{gathered}
\hfill \\
{x_2} = {x_2}\left( {{x_1}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]$ $\[0 = \frac{{dh}}
{{d{x_1}}} = \frac{{df\left( {{x_1},{x_2}\left( {{x_1}} \right)} \right)}}
{{d{x_1}}} = \frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}\left( {{x_1}} \right)} \right)}}
{{\partial {x_2}}}\frac{{d{x_2}}}
{{d{x_1}}} + \frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}} \right)}}
{{\partial {x_1}}}\left| \begin{gathered}
\hfill \\
{x_2} = {x_2}\left( {{x_1}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. = \frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}} \right)}}
{{\partial {x_1}}}\left| \begin{gathered}
\hfill \\
{x_2} = {x_2}\left( {{x_1}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/9/7d929e488a965ab06fab3e1a1888f69182.png)
.
А это то же самое, что и "решение"
![$\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$ $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/4/4e4fc58dcaf28dc221bc16a3576add5d82.png)
.
Т.е. все локальные минимумы найдутся в обоих решениях, потому что получаем одно и то же множество стационарных точек.