Минимум функции

[ShMaxG]

Добрый вечер.

Интересует такой вопрос (вообще ступор какой-то).

Когда верно (и когда не верно) следующее:

$\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},...,{x_n}} f\left( {{x_1},...,{x_n}} \right) = \mathop {\min }\limits_{{x_1}} \mathop {\min }\limits_{{x_2}} ...\mathop {\min }\limits_{{x_n}} f\left( {{x_1},...,{x_n}} \right)\]$

Вопрос -- в общей постановке (множество, на котором заданы координаты может быть как открытым, так и замкнутым, ограниченным и неограниченным)...

По-моему это верно, когда минимизация подразумевает поиск глобального минимума, локальные решения могут теряться... А может и нет, вот не могу сообразить никак...

-- Сб янв 01, 2011 20:02:12 --

Будем считать, что функция двух переменных задана (пусть она будет непр. дифф.), например, на открытом ограниченном множестве, тогда интересует всегда ли $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right) = \mathop {\min }\limits_{{x_1}} \mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\] $, где минимумы -- локальные.

Решение "задачи" $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$ находится из системки: $\[f'\left( x \right) = 0\]$ (ну понятно, что я имел ввиду).

Решение "задачи" $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1}} \mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$ находится в 2 этапа:

1) $\[\mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$

При фиксированном $x_1$ находим стационарные точки: $\[\frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}} \right)}} {{\partial {x_2}}} = 0 \Rightarrow x_2^* = {x_2}\left( {{x_1}} \right)\]$. И пусть $\[\mathop {\min }\limits_{{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right) = f\left( {{x_1},x_2^*} \right) = f\left( {{x_1},{x_2}\left( {{x_1}} \right)} \right) = h\left( {{x_1}} \right)\]$.

2) $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1}} h\left( {{x_1}} \right)\]$

Аналогично, $\[0 = \frac{{dh}} {{d{x_1}}} = \frac{{df\left( {{x_1},{x_2}\left( {{x_1}} \right)} \right)}} {{d{x_1}}} = \frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}\left( {{x_1}} \right)} \right)}} {{\partial {x_2}}}\frac{{d{x_2}}} {{d{x_1}}} + \frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}} \right)}} {{\partial {x_1}}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ {x_2} = {x_2}\left( {{x_1}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. = \frac{{\partial f\left( {{x_1},{x_2}} \right)}} {{\partial {x_1}}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ {x_2} = {x_2}\left( {{x_1}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$.

А это то же самое, что и "решение" $\[\mathop {\min }\limits_{{x_1},{x_2}} f\left( {{x_1},{x_2}} \right)\]$.

Т.е. все локальные минимумы найдутся в обоих решениях, потому что получаем одно и то же множество стационарных точек.

[paha]

пусть $X,Y$ -- множества и $f:X\times Y\to\mathbb{R}$ -- функция.

Выражение $c=\min\{f(x,y):(x,y)\in X\times Y\}$ (если уж такое число $c\in\mathbb{R}$ имеется) означает, что $f(x,y)\ge c$ для всех точек $(x,y)\in X\times Y$ и это неравенство оптимально.

Выражение $c'=\min\{\min\{f(x,y): x\in X\}:y\in Y\}$ (если уж такое число $c'\in\mathbb{R}$ имеется) означает, что $\min\{f(x,y): x\in X\}\ge c'$ для всех точек $y\in Y$ и это неравенство оптимально. А это означает, что $f(x,y)\ge c'$ и оптимальность.

Т.о. $c=c'$.

Применяя индукцию получаем доказательство для любого конечного прямого произведения множеств (ни топология, ни тем более гладкость, не нужны)

[ShMaxG]

Круто! Все так просто... А я тут пушкой по воробьям.
Но это что касается глобального минимума. А если под $\min$ понимать множество локальных минимумов, то можно разбить множество $X \times Y$ на окрестности этих локальных минимумов (внутри эти минимумы будут глобальны).

[paha]

ShMaxG в сообщении #394367 писал(а):

А если под $\min$ понимать множество локальных минимумов

тут уже топология нужна -- от нее сильно зависит само понятие локального минимума (в отличии от глобального)

[ShMaxG]

А что Вы понимаете здесь под топологией? Все в пространстве $\[{\mathbb{R}^n}\]$, все стандартно. Или Вы про открытости/ограниченности множеств?

[paha]

ShMaxG в сообщении #394376 писал(а):

Все в пространстве $\[{\mathbb{R}^n}\]$, все стандартно

а... $\mathbb{R}^n$

ShMaxG в сообщении #394367 писал(а):

А если под $\min$ понимать множество локальных минимумов

то $\min \min$ уже непонятно что такое