гильбертовы пространства

[moscwicz]

С натяжкой олимпиадная задача.
Известно, что стандартная норма $l^p,\quad p\ge 1,\quad p\ne 2$ не может быть задана скалярным произведением. Это легко.
Доказать, что среди эквивалентных норм в $l^p$ нет такой, которая задается скалярным произведением.

[Bulinator]

А что значит "задать норму скалярным произведением"?

[ShMaxG]

Bulinator
Я так понимаю -- задать, значит породить.

Вот если взять $l_p$ со стандартной нормой, то можно показать, что равенство параллелограмма для $p=2$ не верно. И это будет значить, что для данной нормы не существует скалярного произведения, которое бы эту норму породило. Так? А вот вопрос в том, может если взять какую-то другую норму, но эквивалентную стандартной, что соответствующее скалярное произведение найдется. И вот оказывается, что и тогда не найдется.

[Bulinator]

ShMaxG
Я только знаю, что $l_p$ это пространство всех функций, которые удовлетворяют
$\int\limits_{-\infty}^\infty|\psi(x)|^pdx<\infty$ Это так?

ShMaxG в сообщении #394226 писал(а):

что равенство параллелограмма для $p=2$ не верно.

А что такое равенство паралеллограма? Может быть Вы имели ввиду неравенство треугольников?

[ShMaxG]

Так, стоп. У нас всю жизнь было, что $l_p$ - пространство последовательностей, таких, что $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left| {{x_n}} \right|}^p}} < \infty \]$. Ну а норма стандартной всегда подразумевалась.

Bulinator в сообщении #394229 писал(а):

А что такое равенство паралеллограма?

Ну Вы что На нормированном пространстве можно ввести скалярное произведение тогда и только тогда, когда норма такова, что выполнено равенство параллелограмма для любых двух элементов пространства $x$ и $y$:$ \[{\left\| {x + y} \right\|^2} + {\left\| {x - y} \right\|^2} = 2\left( {{{\left\| x \right\|}^2} + {{\left\| y \right\|}^2}} \right)\] $ (см. Колмогорова...)
Впрочем, я и сам могу в чем-то ошибаться, пусть меня поправят.

[Padawan]

Надо подобрать $x,y\in l^p$ так, чтобы отношение правой и левой части в тождестве параллелограмма (в стандартной $l^p$ норме) было меньше любого наперед заданного $\varepsilon$. Надо подобрать...

[ShMaxG]

Padawan

(Оффтоп)

Вооооот, я уже себе все мозги изломал, ну не подбирается...

[moscwicz]

Padawan на подбор посмотреть было бы интересно. Я исходил из того, что гильбертово пространство изоморфно своему сопряженному.

[RIP]

Padawan в сообщении #394340 писал(а):

Надо подобрать $x,y\in l^p$ так, чтобы отношение правой и левой части в тождестве параллелограмма (в стандартной $l^p$ норме) было меньше любого наперед заданного $\varepsilon$. Надо подобрать...

Очевидно, что в любом нормированном пространстве справедливы неравенства

$$\|x\|^2+\|y\|^2\le\|x+y\|^2+\|x-y\|^2\le4(\|x\|^2+\|y\|^2)$$

(на самом деле это одно и то же неравенство, написанное дважды).

[Padawan]

RIP в сообщении #394399 писал(а):

Очевидно, что в любом нормированном пространстве справедливы неравенства

$$\|x\|^2+\|y\|^2\le\|x+y\|^2+\|x-y\|^2\le4(\|x\|^2+\|y\|^2)$$

(на самом деле это одно и то же неравенство, написанное дважды).