Связь замечательных пределов:)

[LuXOR87]

Поздравляю с наступающим Новым 2011 Годом всех участников научного форума!

В следущем году выпускаюсь с экономфака со степенью бакалавра, хочу пересдать высшую матетатику с "четверки" на "отлично". Вот занялся разминкой мозгов с помощью классического двухтомника Н.С.Пискунова и "обламал зубы" об вот такой предел:

$\lim x\to 0$ $\left(\frac{\sin x} {x}\right)^{(1/x^2)} = e^{-1/6}$
В самом учебном пособии никаких намёков на то, как этот предел раскрыть и вычислить не нашел. У Фихтенгольца по этой теме также мне ничего не вспоминается.
Хотя формально получается очень интересная взаимосвязь двух замечательных пределов, если учесть тот факт, что:
$\lim x\to 0$ $\left(\frac{\sin x} {x}\right)^{(1/x)} = 1$
Прошу помощи в указании конкретной методики раскрытия этого предела и, если возможно, обоснования даного результата с точки зрения мат. анализа и теории действительных чисел (думаю, что выразился корректно).

[ewert]

LuXOR87 в сообщении #394120 писал(а):

Прошу помощи в указании конкретной методики раскрытия этого предела

Конкретно оптимальный способ -- выписать для синуса первые два (ненулевые) члена формулы Тейлора с оценкой остатка. Альтернативно -- прологарифмировать и несколько раз применить правило Лопиталя, но это удручительно.

[LuXOR87]

Понял, спасибо. Под оценкой остатка Вы имели ввиду представление остаточного члена $R_n$ в формеЛангранжа?!

[ewert]

LuXOR87 в сообщении #394139 писал(а):

Под оценкой остатка Вы имели ввиду представление остаточного члена в формеЛангранжа?!

нет, достаточно в форме Пеано (Лангранж в данном случае лишь затемняет суть дела)

[LuXOR87]

А где можно почитать про эту самую форму Пеано??
А относительно формулы Тейлора действительно я на старости тупею
Ведь точно это задание дано у Николай Семёныча после ознакомления с формулой Тейлора -- прощёлкал.
Давать такое вычисление первокурснику без разложения в ряды ( чисто через Лопиталя) - это садизм.

[ewert]

LuXOR87 в сообщении #394146 писал(а):

А где можно почитать про эту самую форму Пеано.

Например, здесь: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k+o((x-x_0)^{n})$

LuXOR87 в сообщении #394146 писал(а):

Давать такое вычисление первокурснику без разложения в ряды ( чисто через Лопиталя) - это садизм.

Ну не так уж всё и страшно. После первого же дифференцирования получается $\dfrac{x\cos s-\sin x}{2x^2\sin x}$, и остаётся продифференцировать лишь ещё один раз (потом срабатывает 1-й замечательный предел).

[LuXOR87]

Во общем как я понял первый светлый луч разума должен осенить мой темный чердак после разложения синуса в числителе основания, это отправная (она же узловая) точка вычисления?!

[ewert]

Да.

[LuXOR87]

Спасибо большое за указания методики решения.
И еще пожалуйста ответьте на вопрос слегка не по теме:
Можно сказать, что константа e функционально нейтральный элемент относительно операций интегрирования и дифференциирования, подобно тому как ноль в арифметике относительно операций сложения и вычитания?!

[ewert]

LuXOR87 в сообщении #394152 писал(а):

Можно сказать, что константа e функционально нейтральный элемент относительно операций интегрирования и дифференциирования, подобно тому как ноль в арифметике относительно операций сложения и умножения?!

Нельзя по разным причинам.

[LuXOR87]

Прошу меня извинить за настырность последний вопрос, а как можно охарактеризовать его (число Эйлера) в терминах подобных моим?

[caxap]

LuXOR87 в сообщении #394152 писал(а):

константа e функционально нейтральный элемент относительно операций интегрирования и дифференциирования

Число Эйлера -- не функция

[ewert]

Это одна из причин. Но есть ещё как минимум полторы, главная из которых: интегрирование и дифференцирование -- если и операции, то унарные; в то время как понятие "нейтрального элемента" определено лишь для бинарных.

(да, и кстати, почему Эйлера, мне всегда почему-то казалось, что Непера)

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #394201 писал(а):

(да, и кстати, почему Эйлера, мне всегда почему-то казалось, что Непера)

Их обоих.

[LuXOR87]

С наступившим всех!
По поводу предела -- разложил по Тейлору, увидел, сосчитал, СПАСИБО!
Насчет самой константы е - в Сети и попадавшейся мне литературе везде указывалось,
что она названа в честь Леонарда Эйлера, а Непер пользовался логарифмами по основанию
отличному от последней константы, т.е. в явном виде ее не использовал. Л. Э. вроде бы одним
из первых нашел её разложение в ряд и вывел связь второго замечательного предела с комплексными числами. Но все это исторические частности. Насчет числа я неточно выразился - имел ввиду показательную функцию, но ewert,по всей видимости, меня понял.
Короче говоря я смотрю, что диф. интгр.исчисление полно мало систематизируемых неожиданостей как Кэрроловская Страна Чудес