Линейные пространства. Зад. 1.13

[caxap]

Найдите координаты вектора $x$ в базисе $e=(e_1,e_2,e_3)$, если известны его координаты $(-1,4,3)^\mathsf T$ в базисе $b=(b_1,b_2,b_3)$, а базисы связаны соотношениями

$$\begin{cases} e_1=-1b_1+b_2-3b_3\\ e_2=b_1-2b_2-b_3\\ e_3=-b_1+2b_2+2b_3\end{cases}$$

Матрица перехода из $b$ в $e$:

$$P=\begin{pmatrix}-1&1&-3\\1&-1&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}$$

Так как $e=bP$, то $b=eP^{-1}$. Если обозначить столбцы координат $x$ в базисах $b$ и $e$ через $x_{(b)}$ и $x_{(e)}$, то $x=b x_{(b)}=eP^{-1}x_{(b)}=:e x_{(e)}$, то есть координаты $x$ в $e$ -- это $P^{-1}x_{(b)}$. Так?

[paha]

caxap в сообщении #393242 писал(а):

Так как $e=bP$

у Вас в формулах как раз $(e_1,e_2,e_3)=(b_1,b_2,b_3)P^T$, т.е. $e_i=\sum_jP_{ij}b_j$

-- Ср дек 29, 2010 11:35:48 --

caxap в сообщении #393242 писал(а):

Матрица перехода из $b$ в $e$:

$$P=\begin{pmatrix}-1&1&-3\\1&-\mathbf{2}&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}$$

[caxap]

paha
Ой, извините, я матрицу случайно транспонированную написал. Подразумевалась именно $P^\mathsf T$. А в остальном правильно?

-- 29 дек 2010, 11:38 --

да-да, и там тоже опечатка. Руки у меня крюки. Смысл такой, что $i$-ый столбец $P$ равен коэффициентам разложения $e_i$ по базису $b$. (Ведь, при переходе к новому базису, как я понял, каждый столбец матрицы -- это координаты новых базисных векторов по старым.)

[paha]

caxap в сообщении #393256 писал(а):

А в остальном правильно?

ну да... ошибиться тут невозможно:) если очень хочется проверить -- проверьте формулу в случае, когда $x=e_i$

[caxap]

Спасибо! Был бы признателен, если бы вы взглянули ещё на зад. 1.14 (всю тему можете не читать -- там лишь обсуждение первой задачи).

[caxap]

Я не буду новую тему создавать: скажите, пожалуйста, ортогональное дополнение и прямое дополнение разные вещи?

[Imperator]

Вы определения этих терминов видели?

[caxap]

1) $\mathcal H_1$ -- прямое дополнение к $\mathcal H_2$ в $\mathcal L$, если $\mathcal H_1\oplus\mathcal H_2=\mathcal L$. То есть их сумма даёт $\mathcal L$, а пересечение $\{0\}$.
2) $\mathcal H_1$ -- ортогональное дополнение к $\mathcal H_2$ в $\mathcal L$, если $\mathcal H_1$ -- множество всех ортогональных векторов к векторам из $\mathcal H_2$. То есть тоже их суммой будет всё $\mathcal L$, а пересечением $\{0\}$.

В определении ортогонального дополнения используется ортогональность, то есть должно быть скал. произведение введено. А если оно введено, то есть разница между прямым и ортог. дополнением?

-- 29 дек 2010, 19:33 --

Странно. В одном учебнике (Головина) требуется, чтобы прямая сумма подпространств давала всё пространство, а в другом (Канатников, Крищенко) -- нет.

[ewert]

caxap в сообщении #393430 писал(а):

есть разница между прямым и ортог. дополнением?

Естественно. В первом случае Вам достаточно лишь того, чтобы те два подпространства не пересекались (в смысле пересекались тривиально), во втором же -- чтобы были ещё и взаимно ортогональными. Что существенно жёстче.

(ну там ещё всякие нюансы типа полноты, но это уже нюансы; кстати, именно по этой причине сумма подпространства и его ортогонального дополнения в неполном пространстве не обязана давать всё пространство)

[caxap]

Ах, точно! Что-то я совсем туплю. Спасибо.