2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 11:14 
Аватара пользователя
Найдите координаты вектора $x$ в базисе $e=(e_1,e_2,e_3)$, если известны его координаты $(-1,4,3)^\mathsf T$ в базисе $b=(b_1,b_2,b_3)$, а базисы связаны соотношениями
$$\begin{cases}
e_1=-1b_1+b_2-3b_3\\
e_2=b_1-2b_2-b_3\\
e_3=-b_1+2b_2+2b_3\end{cases}$$

Матрица перехода из $b$ в $e$:
$$P=\begin{pmatrix}-1&1&-3\\1&-1&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}$$
Так как $e=bP$, то $b=eP^{-1}$. Если обозначить столбцы координат $x$ в базисах $b$ и $e$ через $x_{(b)}$ и $x_{(e)}$, то $x=b x_{(b)}=eP^{-1}x_{(b)}=:e x_{(e)}$, то есть координаты $x$ в $e$ -- это $P^{-1}x_{(b)}$. Так?

 
 
 
 Re: Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 11:33 
Аватара пользователя
caxap в сообщении #393242 писал(а):
Так как $e=bP$

у Вас в формулах как раз $(e_1,e_2,e_3)=(b_1,b_2,b_3)P^T$, т.е. $e_i=\sum_jP_{ij}b_j$

-- Ср дек 29, 2010 11:35:48 --

caxap в сообщении #393242 писал(а):
Матрица перехода из $b$ в $e$:
$$P=\begin{pmatrix}-1&1&-3\\1&-\mathbf{2}&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 11:35 
Аватара пользователя
paha
Ой, извините, я матрицу случайно транспонированную написал. Подразумевалась именно $P^\mathsf T$. А в остальном правильно?

-- 29 дек 2010, 11:38 --

да-да, и там тоже опечатка. Руки у меня крюки. Смысл такой, что $i$-ый столбец $P$ равен коэффициентам разложения $e_i$ по базису $b$. (Ведь, при переходе к новому базису, как я понял, каждый столбец матрицы -- это координаты новых базисных векторов по старым.)

 
 
 
 Re: Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 11:39 
Аватара пользователя
caxap в сообщении #393256 писал(а):
А в остальном правильно?

ну да... ошибиться тут невозможно:) если очень хочется проверить -- проверьте формулу в случае, когда $x=e_i$

 
 
 
 Re: Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 11:40 
Аватара пользователя
Спасибо! Был бы признателен, если бы вы взглянули ещё на зад. 1.14 (всю тему можете не читать -- там лишь обсуждение первой задачи).

 
 
 
 Re: Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 18:10 
Аватара пользователя
Я не буду новую тему создавать: скажите, пожалуйста, ортогональное дополнение и прямое дополнение разные вещи?

 
 
 
 Re: Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 19:10 
Вы определения этих терминов видели?

 
 
 
 Re: Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 19:21 
Аватара пользователя
1) $\mathcal H_1$ -- прямое дополнение к $\mathcal H_2$ в $\mathcal L$, если $\mathcal H_1\oplus\mathcal H_2=\mathcal L$. То есть их сумма даёт $\mathcal L$, а пересечение $\{0\}$.
2) $\mathcal H_1$ -- ортогональное дополнение к $\mathcal H_2$ в $\mathcal L$, если $\mathcal H_1$ -- множество всех ортогональных векторов к векторам из $\mathcal H_2$. То есть тоже их суммой будет всё $\mathcal L$, а пересечением $\{0\}$.

В определении ортогонального дополнения используется ортогональность, то есть должно быть скал. произведение введено. А если оно введено, то есть разница между прямым и ортог. дополнением?

-- 29 дек 2010, 19:33 --

Странно. В одном учебнике (Головина) требуется, чтобы прямая сумма подпространств давала всё пространство, а в другом (Канатников, Крищенко) -- нет. :?

 
 
 
 Re: Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 22:04 
caxap в сообщении #393430 писал(а):
есть разница между прямым и ортог. дополнением?

Естественно. В первом случае Вам достаточно лишь того, чтобы те два подпространства не пересекались (в смысле пересекались тривиально), во втором же -- чтобы были ещё и взаимно ортогональными. Что существенно жёстче.

(ну там ещё всякие нюансы типа полноты, но это уже нюансы; кстати, именно по этой причине сумма подпространства и его ортогонального дополнения в неполном пространстве не обязана давать всё пространство)

 
 
 
 Re: Линейные пространства. Зад. 1.13
Сообщение29.12.2010, 22:09 
Аватара пользователя
Ах, точно! Что-то я совсем туплю. Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group