не совсем Доказательство неравенств...

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Я считаю, что лучше сказать, чем не говорить.

dnoskov,
переворачивание $\frac{(x^2+2)^2}{x^2}+4$ как $\frac{x^2}{(x^2+2)^2}+\frac{1}{4}$ не лезет ни в какие ворота. Правильное переворачивание --- $\dfrac{1}{\frac{(x^2+2)^2}{x^2}+4}$, с последующими преобразованиями.

Перебывать в этом заблуждении никак нельзя. Попереворачивайте типа $9+1$, $2+\frac12$, $\frac52+0$, $x+1$ и прочие штуки, и убедитесь, пожалста, что так жить нельзя.

Это, конечно, при условии, что я правильно протрактовал среди ночи последние посты.

[dnoskov]

Алексей К.
Вооооот. Спасибо! Если бы я думал над этим сам, то допёр бы только после нового года.

Цитата:

Перебывать в этом заблуждении никак нельзя. Попереворачивайте типа $9+1$, $2+\frac12$, $\frac52+0$, $x+1$ и прочие штуки, и убедитесь, пожалста, что так жить нельзя.

Да, я это показал выше.

Однако, такое переворачивание не даёт ответа на вопрос о наибольшем значении. Действительно:

$$\frac{x^2}{x^4+4}=\dfrac{1}{\frac{x^4+4}{x^2}}=\dfrac{1}{\frac{(x^2-2)^2}{x^2}+4}=\dfrac{1}{\frac{(x^2-2)^2+4x^2}{x^2}}=\frac{x^2}{(x^2-2)^2+4x^2}$$

Т.е. можно было бы и не переворачивать. Или...
Я подумал, что нет разницы где производить упрощение: в знаменателе или в числителе знаменателя, ведь если можно привести выражение к требуемому виду, то оно "приведётся" и без переворотов.

Я ведь правильно понимаю, что в этом примере (3. из первого поста) ответ должен выглядеть примерно так: $C-f(x)\leqslant C, \; f(x)\geqslant 0, \; x \in \mathbb{R}$?

Я даже выделил нечто похожее (см. выше), однако то, что у меня вышло - неверно.

[ИСН]

Так нельзя. Чего Вы хотите? Чего ищете на полу? Вот ведь оно (не знаю, как называется), сидит на потолке и скалит зубы, будто смеётся. А зубов много и все такие острые-острые.

[dnoskov]

ИСН
Секюндчкю.

Цитата:

Когда у нас день, в Америке ночь. Когда у величины максимум, то у обр......

...атной величины - минимум? или
...атной величины - обратный минимум?
В 8-м классе об этом ничего нет.

Т.е. выделять следует из "обратного примера" минимум? Обратный минимум?

(Оффтоп)

Цитата:

Вот ведь оно (не знаю, как называется), сидит на потолке и смеётся, скалит зубы.

Лучше больше не балуйтесь с неизвестными веществами

-- Ср дек 29, 2010 15:43:18 --

Т.е. это, конечно же, имеет отношение к началам анализа. Но в восьмом классе никаких начал анализа нет.

[ИСН]

Я не к анализу апеллировал и не к восьмому классу, а к обычному здравому смыслу. Что такое обратный минимум? Ведь нет такого понятия.

[dnoskov]

ИСН
Под "обратным минимумом" я имел в виду значение, обратное максимуму исходной величины.

Или вот как (но это уже вообще (хотя и похоже на правду)):

• Найти минимум обратной величины
• Решить уравнение, приравняв его к этому минимуму
• Полученное значение переменной подставить в исходное выражение (изображая, что восьмиклассник это всё проделывает, понимая суть своих действий)
• Вычислить - получится искомая величина

[ИСН]

Какое уравнение? Какое значение переменной? Зачем? Вы же вроде искали только сам максимум (или минимум).

[dnoskov]

ИСН

Цитата:

...Вы же вроде искали только сам максимум (или минимум).

Да. И вот моя логика:
Дано: $\frac{x^2}{x^4+4}$
Найти: $\max{\frac{x^2}{x^4+4}}$
Идя путём упрощений (выражения) и выделений (полных квадратов и т.д.), я не получил искомого результата (может быть я что-то неверно сделал, но я этого не заметил). Значит нужно искать другой путь. Вы подсказываете, что величина, обратная данной, имеет минимум в точке, в которой данная величина имеет максимум. Т.е. мне нужно узнать абсциссу этой точки (минимума обратной величины). Слава Богу минимум обратной величины нам известен, так что для того, чтобы узнать его (минимума) абсциссу, нужно решить уравнение: $\frac{x^4+4}{x^2}=4$. Решив это уравнение, получим абсциссу точки максимума данного выражения, а, подставив полученное значение в данное выражение получим его максимум, руководствуясь тем соображением, что величина, обратная данной, имеет минимум в точке, в которой данная величина имеет максимум.

Вот и вся логика. Правильно же?

[ИСН]

В Москве есть находчивые таксисты, которые могут час везти клиента с Казанского вокзала на Ленинградский, со словами "не беспокойтесь, успеем". Вот это из той же оперы.
А так-то правильно всё, не поспоришь. Ну и те таксисты не врут: приехали же, успели.

[dnoskov]

ИСН
Вы хотите сказать, что можно сократить процесс решения?

Подскажите (или просто скажите), пожалуйста, как это сделать?

Возможно ли это сделать без привлечения факта про минимумы/максимумы обратных выражений?

Через упрощение данного выражения? Как?

[ИСН]

Забейте, неважно. Приехали же.

-- Ср, 2010-12-29, 15:40 --

(Оффтоп)

Хотел сказать что-то об удивительной связи между величиной и её обратной, но решил не портить собеседнику радость самостоятельного открытия.

[dnoskov]

ИСН
Да, и Вы не представляете, как я Вам за это благодарен.
Но это не неважно. Хотя здесь тема себя исчерпала. Но она ещё всплывёт, я уверен.

В любом случае Спасибо Вам!

[gris]

Если подходить серьёзно, то при вашем переворачивании надо выделить случай $x=0$, при котором это действие некорректно. Затем проговорить слова о положительности выражения, иначе рассуждения о минимуме обратной величины неверны.
Без переворачивания обойтись можно. Для этого необходимо выделять неотрицательное (не обязательно квадрат!) при всех значениях аргумента выражение. Со знаком плюс, если мы ищем минимум, со знаком минус - если максимум. Опуская процесс вывода, приведу результат:

$$\dfrac {x^2}{x^4+4}=\dfrac14 -\dfrac {(2-x^2)^2}{4(x^4+4)}$$

Отсюда видно, что максимум выражения равен $\dfrac14$ при $x=\pm\sqrt2$

[dnoskov]

gris
В обратную сторону:

$$\dfrac14 -\dfrac {(2-x^2)^2}{4(x^4+4)}=\dfrac{(x^4+4)-(2-x^2)^2}{4(x^4+4)}=\dfrac{x^4+4+4x^2-x^4-4}{4(x^4+4)}=\dfrac{4x^2}{4(x^4+4)}=\dfrac44 \cdot \dfrac{x^2}{x^4+4}$$

Понятно, что для того,чтобы выделить какое-то значение из дроби, надо, чтобы у этой дроби в знаменателе было произведение (необязательно, но в данном случае понятно о чём я говорю).
Отсюда вопрос: Как догадаться об умножении именно на $\frac44$? Есть ведь и другие подобные примеры, и их тоже надо как-то вменяемо преобразовывать.

[Алексей К.]

Может, там всё уже решено (я по диагонали читал), но вот это прокомментирую:

dnoskov в сообщении #393321 писал(а):

Дано: $\frac{x^2}{x^4+4}$
Найти: $\max{\frac{x^2}{x^4+4}}$
Идя путём упрощений (выражения) и выделений (полных квадратов и т.д.), я не получил искомого результата...

Чтобы найти максимум этого выражения, я бы поискал минимум обратной величины (не обратный минимум, а просто минимум кого-чего). Ну потому что, на первый взгляд, с обратной величиной возиться как-то приятней, плодотворней:

$$\left(\frac{x^2}{x^4+4}\right)^{-1}=x^2+\frac4{x^2}=(x)^2+\left(\frac{2}x\right)^2= \underbrace{(x)^2{\color{blue}{}-2\cdot x\cdot\frac{2}x}+\left(\frac{2}x\right)^2}_{\text {А? Каково!}}{\color{blue}{}+2\cdot x\cdot\frac{2}x}=\left(x-\frac{2}{x}\right)^2+4.$$

Теперь ясно, что минимум случится при $x-\frac{2}{x}=0$ (т.е. при $x=\pm\sqrt2$), и равен этот минимум четырём.

Когда видим квадрат одного числа и квадрат другого, надо попытаться подсунуть туда их удвоенное произведение (и, конечно, не забыть его компенсировать), выделить тем самым полный квадрат, и некоторое время смотреть на него.