не совсем Доказательство неравенств...

[dnoskov]

... ну вот как-то так.
Задача:
Найдите наименьшее(1)/наибольшее(2) значение выражения:

1. (1) $x^2+\frac{4}{x^2}$
2. (1) $\frac{s^2-2s+36}{s}, s>0$
3. (2) $\frac{x^2}{x^4+4}$
4. (2) $\frac{17t^2}{t^4+7t^2+49}$

Не пойму, к чему должна сводиться такая задача, размещённая в параграфе о доказательстве неравенств. Ранее мне встречались подобные задания. Те задания заключались по сути в том, чтобы найти ординату вершины параболы. Полагая, что здесь нечто похожее (но в параграфе про доказательство неравенств, т.е., думаю, что ответ должен, наверное, быть похож на что-то вроде 1.(1) $x^2+\frac{4}{x^2}\geqslant y$, где $y$ - искомое число) приступаем.
По примерам:

1. $x^2+\frac{4}{x^2}=\frac{x^4+4}{x^2}$
   Здесь я вижу, что выражение принимает наименьшее значение при $x=1$, т.е. $x^2+\frac{4}{x^2}\geqslant 5$. Меня, правда, смущает, что я это вижу довольно умозрительно (и правильно, потому что это неверно)
2. $\frac{s^2-2s+36}{s}=\frac{(s-1)^2}{s}+\frac{35}{s}$
   Здесь я, опять же, просто вижу, что, оказывается $\frac{s^2-2s+36}{s}\geqslant 35$. И это, кстати, неверно (проверил на wolframalpha)
3. $\frac{x^2}{x^4+4}$
   Здесь начинаются затруднения. "Просто увидеть" не получается. Эмпирически (т.е. с помощью нескольких подстановок) смог получить ответ $0,25$. "Но ведь это не наш метод" (С) товарищ Саахов.
4. $\frac{17t^2}{t^4+7t^2+49}$. В этом примере я совсем ничего не могу углядеть (кроме очевидного сворачивания знаменателя).

Т.е. вопрос таков: Как такие задачи обычно решают?

П.С. Ещё короткое пояснение. В задачнике этим примерам предшествуют подобные примеры, только с формулировкой "Докажите неравенство" и с известным значением в правой части - вроде вот этого вот: $4x^2+\frac{4}{1+4x^2}\geqslant 3$, но это доказывается довольно понятно как.

[ИСН]

$\frac{s^2-2s+36}{s}\geqslant 35$? Ога, щаз, особенно при s=6.
Третий Ваш пример - это то же самое, что первый. Не узнали?
А вообще здесь везде надо выделять какие-то квадраты.

[dnoskov]

ИСН

Цитата:

$\frac{s^2-2s+36}{s}\geqslant 35$? Ога, щаз, особенно при s=6.

О том-то и речь. Но как Вы к этому пришли?

Цитата:

Третий Ваш пример - это то же самое, что первый. Не узнали?

Узнали

Цитата:

А вообще здесь везде надо выделять какие-то квадраты.

Вот например в процитированном Вами примере, я выделил полный квадрат, но результат сами видите какой.

[ИСН]

dnoskov в сообщении #392729 писал(а):

Но как Вы к этому пришли?

К чему? Подставил везде 6 вместо буковки s. Число взял от балды; минимум ли это, я не знаю.
А квадраты выделять надо с умом. Посмотрите ещё раз на разобранные примеры, у Вас же есть какие-то, наверное? Что мы уничтожаем, а что оставляем? Что стараемся запихать в полный квадрат, а что нет?

[ewert]

Все задачи на одну и ту же тему: $x+\dfrac{1}{x}\geqslant2$, $x+\dfrac{a^2}{x}=a\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{a}{x}\right)\geqslant2a$ и т.д.

[dnoskov]

ИСН
ААААААААА!!!!!!
Да..... стало быть вот как получается: $\frac{s^2-2s+36}{s}=\frac{(s-6)^2}{s}+10$

[ИСН]

Вот так всегда: кто-то придёт и расскажет священное тайное знание.
Ну да, так, и остальные так же.

[ewert]

Но, между прочим, пятое (которое в П.С.) -- несколько деликатнее: там существенно, что в знаменателе сидит именно единичка, а не, допустим, тройка.

[dnoskov]

ewert
Но его надо было только доказать. Там довольно просто выделяется полный квадрат.


Ну, дальше я сам постараюсь разобраться.
ИСН, ewert, Благодарю вас.

[dnoskov]

Думал, что разобрался, ан нет...

Дайте, пожалуйста, наводку. Как преобразовывать подобные вещи $\frac{x^2}{x^4+4}$

Мои потуги здесь заключаются примерно вот в чём: $\frac{x^2}{x^4+4}=\frac{x^2}{x^4-4x^2+4+4x^2}=\frac{x^2}{(x^2-2)^2+4x^2}=\frac{x^2}{(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2+4x^2}$

Или вот в чём: $\frac{x^2}{x^4+4}=\frac{x^2}{x^4+4x^2+4-4x^2}=\frac{x^2}{(x^2+2)^2-4x^2}=\frac{x^2}{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

Т.е. я не знаю, что мне сделать полезного в числителе.

Я пробовал вот что: $\frac{x^2}{(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2+4x^2}=\frac{x^2+3x^2+(x^2-2)^2-(3x^2+(x^2-2)^2)}{4x^2+(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2}=1-\frac{3x^2+(x^2-2)^2}{4x^2+(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2}$, и дальше не знаю как .

Или вот что: $\frac{x^2}{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}=\frac{x^2+2x+2-2x-2}{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}=\frac{1}{(x^2+2x+2)}-\frac{2(x+1)}{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$, и, опять же, дальше не знаю как .

[ИСН]

Когда у нас день, в Америке ночь. Когда у величины максимум, то у обр......

[dnoskov]

ИСН
Т.е. можно перевернуть, упростить и потом опять перевернуть?

[ИСН]

[dnoskov]

ИСН
В таком случае, как можно перевернуть вот это: $\frac{(x^2+2)^2}{x^2}+4$, получив в результате "верную логику"?

$\frac{x^2}{(x^2+2)^2}+\frac{1}{4}\leqslant \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{x^2}{(x^2+2)^2}\leqslant 0$, а это, конечно же, не так.

(Оффтоп)

Хотя, утро вечера мудренее.

[ИСН]

(Оффтоп)

Вот я тоже подумал, что лучше тут ничего не говорить.