класс действ. чисел с одинак. дробной частью

[Nikolas]

Здравствуйте!

В учебнике Колмогорова по функц. анализу приведен пример разбиения:
определим класс действительных чисел с одинаковой дробной частью. Этому разбиению отвечает отображение прямой линии на окружность единичной длины.

Мне непонятно, т.к. длина линии никак не оговаривается, м.б. отображение понимать как инверсию относительно окружности?

[Егор]

Nikolas писал(а):

В учебнике Колмогорова по функц. анализу приведен пример разбиения:
определим класс действительных чисел с одинаковой дробной частью. Этому разбиению отвечает отображение прямой линии на окружность единичной длины.

Имеется в виду отображение $f\colon {\mathbb R}\to{\mathbb R}^2$, действующее по правилу: $f(t)=(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$. Если отождествлять ${\mathbb R}^2$ с множеством комплексных чисел ${\mathbb C}$, то $f(t)=\exp(2\pi i t)$. Речь идёт о том, что

$$f(t_1)=f(t_2)\quad\Longleftrightarrow\quad t_1-t_2\in{\mathbb Z}.$$