Долго пытался решить или найти доказательство, и удалось найти его в журнале:
Доказательство (в несколько измененном виде) взято из статьи Сергея Николаевича Черникова «К теории локально разрешимых групп» в журнале «Математический сборник» (1943 год, том 13(55), номер 2-3, стр. 317—333) (
http://mi.mathnet.ru/msb6182).
По определению разрешимости:
![$G = {G_0} \triangleright G' = {G_1} \triangleright ... \triangleright {G^{(n)}} = {G_n} = \{ e\} $ $G = {G_0} \triangleright G' = {G_1} \triangleright ... \triangleright {G^{(n)}} = {G_n} = \{ e\} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/0/0f02bb95b3101e071da23bacbdbce64982.png)
.
Доказательство проведем по индукции.
Базис: пусть
![$G' = \{ e\} $ $G' = \{ e\} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/b/4dbbbf99b80962a27c05bce0f71604c582.png)
. Так как группа абелева, и в ней конечное число классов сопряженных элементов, то она конечна (каждому классу соответствует один элемент).
Гипотеза: пусть G — разрешимая группа, имеющая конечное число классов сопряженных элементов, и
![${G^{(k - 1)}} \ne \{ e\} ,{G^{(k)}} = \{ e\} $ ${G^{(k - 1)}} \ne \{ e\} ,{G^{(k)}} = \{ e\} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/e/33ede951bcf7d158e301be921c9d370382.png)
. Пусть мы уже доказали, что для любой разрешимой группы с конечным числом классов сопряженных элементов такой, что
![${G^{(k - 1)}} = \{ e\} $ ${G^{(k - 1)}} = \{ e\} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45e72d96706b3024aaaeeb3c124beea482.png)
, утверждение оказалось верным.
Обозначим факторгруппу
![$A = G/G'$ $A = G/G'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/e/7fe5603e1e3efb551c089cd7ae5321ac82.png)
. В
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
также конечное число классов сопряженных элементов, так как по теореме о гомоморфизмах, существует гомоморфизм
![$G \to A$ $G \to A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/f/36f1efcc1906806d3ae19d0f1e99c35d82.png)
, а при действии гомоморфизма сопряженные элементы переходят в сопряженные:
![$\varphi ({g^{ - 1}}ag) = \varphi ({g^{ - 1}})\varphi (a)\varphi (g) = {\varphi ^{ - 1}}(g)\varphi (a)\varphi (g)$ $\varphi ({g^{ - 1}}ag) = \varphi ({g^{ - 1}})\varphi (a)\varphi (g) = {\varphi ^{ - 1}}(g)\varphi (a)\varphi (g)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/c/40ca1c883a611a93499a8d0573e48e6482.png)
. Так как A абелева, и в ней конечное число классов сопряженных элементов, то A конечна (так как каждому классу принадлежит один элемент).
Покажем, что группа
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
имеет конечное число классов сопряженных элементов.
Предположим обратное, что она имеет бесконечное число классов. При переходе от классов сопряженных элементов
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
некоторые из этих классов будут соединяться в один класс группы G, причем ввиду конечности числа классов группы G, по крайней мере, один класс G должен составиться из бесконечного множества классов группы
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
. Из этого можно сделать вывод, что в группе
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
существует бесконечное множество M элементов таких, что никакие два из них не сопряжены в
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
, но сопряжены в G.
Возьмем из M элементы
![${a_1},...,{a_n},...$ ${a_1},...,{a_n},...$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/a/7daab8798aad418a9fb4a3c76f60fdf782.png)
, обладающие следующим свойством: каждое из уравнений
![${x^{ - 1}}{a_1}x = {a_i}$ ${x^{ - 1}}{a_1}x = {a_i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/2/07244af5789949c2eee0e8d91461dbef82.png)
, где
![$i = 2,3,...$ $i = 2,3,...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/c/eec3b01b3d990f4e968939da6e511bcd82.png)
, имеет по крайней мере одно решение
![${x_i}$ ${x_i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/0/d504bc86357a3d334f970f8547d24a6282.png)
(
![$i = 2,3,...$ $i = 2,3,...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/c/eec3b01b3d990f4e968939da6e511bcd82.png)
), удовлетворяющее соотношению:
![${x_i}G' = hG'$ ${x_i}G' = hG'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/c/b2c03ec5b8569c7467a12afe6e7d133282.png)
(
![$i = 2,3,...$ $i = 2,3,...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/c/eec3b01b3d990f4e968939da6e511bcd82.png)
) для определенного элемента h группы G, не лежащего в
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
. Другими словами, все корни уравнений должны лежать в одном левом смежном классе по
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
, отличном от
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
. Такие элементы
![${a_1},...,{a_n},...$ ${a_1},...,{a_n},...$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/a/7daab8798aad418a9fb4a3c76f60fdf782.png)
найдутся, и их будет бесконечное число в силу того, что
![$G/G'$ $G/G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/9/149d2d1d00dcb2e7fbc90b25d165741282.png)
конечна.
Из свойства
![${x^{ - 1}}{a_1}x = {a_i}$ ${x^{ - 1}}{a_1}x = {a_i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/2/07244af5789949c2eee0e8d91461dbef82.png)
следует, что
![${h^{ - 1}}{a_1}h = \left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right){a_2}{\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}} = \left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)^{ - 1}} = ...$ ${h^{ - 1}}{a_1}h = \left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right){a_2}{\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}} = \left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)^{ - 1}} = ...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/c/ccc3792ff04f6455c0d3d3a3be06ae1682.png)
.
Так как элемент
![${h^{ - 1}}{x_i}$ ${h^{ - 1}}{x_i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/0/de0114d173e5c30f7adfd2c719264ac882.png)
(
![$i = 2,3,...$ $i = 2,3,...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/c/eec3b01b3d990f4e968939da6e511bcd82.png)
) содержится в
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
(так как
![${h^{ - 1}}{x_i}G' = G'$ ${h^{ - 1}}{x_i}G' = G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/a/9caa9ec80bb2849dc7f3e414446fcd4182.png)
), то отсюда получается, что хотя бы
![${a_2},{a_3}$ ${a_2},{a_3}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/e/47edcf1a91bec7e093b67227fce493b382.png)
сопряжены друг с другом в группе
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
:
![$\[\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right){a_2}{\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}} = \left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)^{ - 1}}\]$ $\[\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right){a_2}{\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}} = \left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)^{ - 1}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/8/3d8f3bd9b9af8caf39df55d5809da00f82.png)
![$\[{a_2} = {\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)\]$ $\[{a_2} = {\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/4/7543224f6958c6dc344f8f777a05420a82.png)
![$\[{a_2} = {\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{{\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)}^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)} \right)^{ - 1}}\]$ $\[{a_2} = {\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{{\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)}^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)} \right)^{ - 1}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/7/9a79731fb53616ce51b92ceb35f25bf282.png)
,
а это противоречит исходному предположению об этих элементах (на самом деле можно утверждать больше: что каждые два элемента
![${a_2},{a_3},...$ ${a_2},{a_3},...$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/b/f7ba109ea1db840d6768d9304be8101582.png)
попарно сопряжены в
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
по данному предположению). Следовательно, множество классов сопряженных элементов группы
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
конечно.
![${\left( {G'} \right)^{(k - 1)}} = \{ e\} $ ${\left( {G'} \right)^{(k - 1)}} = \{ e\} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/e/3de00a4ac53908d1c93c57f78ac4b91f82.png)
, следовательно, по предположению индукции
![$G'$ $G'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/966ea729edb76f391d2d66d92daf725182.png)
конечна.
![$|G|\; = \;\left( {|G'| \cdot \;|A|} \right) \in \mathbb{N}$ $|G|\; = \;\left( {|G'| \cdot \;|A|} \right) \in \mathbb{N}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/5/205def1cba1e0c0cbd40c41bd720648382.png)
, следовательно, она конечна.