Разрешимая гр. с конечн. числ. кл. сопр. эл. сама конечна

[Alfucio]

Здравствуйте!

Задача: доказать, что разрешимая группа, имеющая конечное число классов сопряженных элементов, конечна (задача 13.25 из Задачника по теории групп Вячеслава Александровича Белоногова (М. : Наука, 2000. — 239 с.)).

Подскажите, пожалуйста, верно ли рассуждаю при рассмотрении факторгруппы и при проведении индукции.

Если $G' = \{ e\} $, то группа абелева, каждому элементу соответствует один класс, следовательно, группа конечна.

Если $G' \ne \{ e\} ,G'' = \{ e\} $, то $G'$ абелева. В $G'$ конечное число сопряженных элементов, так как это подгруппа группы $G$. Получается, что $G'$ конечна.

Обозначим факторгруппу $A = G/G'$. В $A$ также конечное число сопряженных элементов, так как по теореме о гомоморфизмах, существует гомоморфизм $G \to A$, а при действии гомоморфизма сопряженные элементы переходят в сопряженные: $\varphi ({g^{ - 1}}ag) = \varphi ({g^{ - 1}})\varphi (a)\varphi (g) = {\varphi ^{ - 1}}(g)\varphi (a)\varphi (g)$.

Так как факторгруппа разрешимой группы по любой ее нормальной подгруппе разрешима, и при этом она разрешима минимум на один шаг раньше, $A' = \{ e\} $. Так как $A$ абелева, и в ней конечное число сопряженных элементов, то $A$ конечна.

$|G|\; = \;\left( {|G'| \cdot \;|A|} \right) \in \mathbb{N}$, следовательно, она конечна.

Далее проведем доказательство по индукции.

База: группа $G$ разрешима, имеет конечное число классов сопряженных элементов, при этом $G'' = \{ e\} $. Мы только что доказали, что она конечна.

Гипотеза: группа $G$ разрешима, имеет конечное число классов сопряженных элементов, при этом ${G^{(n + 1)}} = \{ e\} $ ($n \ge 2$).

Будем считать, что для разрешимых групп, имеющих конечное число классов сопряженных элементов таких, что ${G^{(n)}} = \{ e\} $, свойство уже доказано (и доказано для групп с такими же свойствами, разрешимых на меньших шагах).

$G'$ разрешима на один шаг раньше. Она также имеет конечное число сопряженных элементов. Получается, что она конечна.

$A = G/G'$ разрешима на один шаг раньше, имеет конечное число сопряженных элементов, тоже конечна.

Значит, и $G$ конечна.

Заранее спасибо!

[Alfucio]

Подсказали, что ошибка есть точно в следующем утверждении:

Alfucio в сообщении #391915 писал(а):

... В $G'$ конечное число сопряженных элементов, так как это подгруппа группы $G$. Получается, что $G'$ конечна...

Неправильно вот что: пусть в подгруппе $H$ группы $G$ есть элементы $h$ и ${h^g} \ne h$. $h$ и ${h^g}$ лежат в одном классе сопряженных элементов в $G$. Однако, если $g \notin H$, то в $H$ может быть и больше классов сопряженных элементов.

Можно попробовать доказать, что одновременно условия выполняться не могут: $h,{h^g} \in G',g \notin G'$ для разрешимой группы $G$ с конечным числом классов сопряженных элементов. А, возможно, это может выполняться, и доказательство проблемы проводится по-другому. Пока не удалось найти способ.

Подскажите, пожалуйста, как можно доказать, что если $G$ — разрешима и в ней конечное число классов сопряженных элементов, то $G'$ конечна?

[Alfucio]

Долго пытался решить или найти доказательство, и удалось найти его в журнале:

Доказательство (в несколько измененном виде) взято из статьи Сергея Николаевича Черникова «К теории локально разрешимых групп» в журнале «Математический сборник» (1943 год, том 13(55), номер 2-3, стр. 317—333) (http://mi.mathnet.ru/msb6182).

По определению разрешимости: $G = {G_0} \triangleright G' = {G_1} \triangleright ... \triangleright {G^{(n)}} = {G_n} = \{ e\} $.

Доказательство проведем по индукции.

Базис: пусть $G' = \{ e\} $. Так как группа абелева, и в ней конечное число классов сопряженных элементов, то она конечна (каждому классу соответствует один элемент).

Гипотеза: пусть G — разрешимая группа, имеющая конечное число классов сопряженных элементов, и ${G^{(k - 1)}} \ne \{ e\} ,{G^{(k)}} = \{ e\} $. Пусть мы уже доказали, что для любой разрешимой группы с конечным числом классов сопряженных элементов такой, что ${G^{(k - 1)}} = \{ e\} $, утверждение оказалось верным.

Обозначим факторгруппу $A = G/G'$. В $A$ также конечное число классов сопряженных элементов, так как по теореме о гомоморфизмах, существует гомоморфизм $G \to A$, а при действии гомоморфизма сопряженные элементы переходят в сопряженные: $\varphi ({g^{ - 1}}ag) = \varphi ({g^{ - 1}})\varphi (a)\varphi (g) = {\varphi ^{ - 1}}(g)\varphi (a)\varphi (g)$. Так как A абелева, и в ней конечное число классов сопряженных элементов, то A конечна (так как каждому классу принадлежит один элемент).

Покажем, что группа $G'$ имеет конечное число классов сопряженных элементов.

Предположим обратное, что она имеет бесконечное число классов. При переходе от классов сопряженных элементов $G'$ некоторые из этих классов будут соединяться в один класс группы G, причем ввиду конечности числа классов группы G, по крайней мере, один класс G должен составиться из бесконечного множества классов группы $G'$. Из этого можно сделать вывод, что в группе $G'$ существует бесконечное множество M элементов таких, что никакие два из них не сопряжены в $G'$, но сопряжены в G.

Возьмем из M элементы ${a_1},...,{a_n},...$, обладающие следующим свойством: каждое из уравнений ${x^{ - 1}}{a_1}x = {a_i}$, где $i = 2,3,...$, имеет по крайней мере одно решение ${x_i}$ ($i = 2,3,...$), удовлетворяющее соотношению: ${x_i}G' = hG'$ ($i = 2,3,...$) для определенного элемента h группы G, не лежащего в $G'$. Другими словами, все корни уравнений должны лежать в одном левом смежном классе по $G'$, отличном от $G'$. Такие элементы ${a_1},...,{a_n},...$ найдутся, и их будет бесконечное число в силу того, что $G/G'$ конечна.

Из свойства ${x^{ - 1}}{a_1}x = {a_i}$ следует, что
${h^{ - 1}}{a_1}h = \left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right){a_2}{\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}} = \left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)^{ - 1}} = ...$.

Так как элемент ${h^{ - 1}}{x_i}$ ($i = 2,3,...$) содержится в $G'$ (так как ${h^{ - 1}}{x_i}G' = G'$), то отсюда получается, что хотя бы ${a_2},{a_3}$ сопряжены друг с другом в группе $G'$:
$\[\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right){a_2}{\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}} = \left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)^{ - 1}}\]$
$\[{a_2} = {\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)\]$
$\[{a_2} = {\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right){a_3}{\left( {{{\left( {{h^{ - 1}}{x_2}} \right)}^{ - 1}}\left( {{h^{ - 1}}{x_3}} \right)} \right)^{ - 1}}\]$,
а это противоречит исходному предположению об этих элементах (на самом деле можно утверждать больше: что каждые два элемента ${a_2},{a_3},...$ попарно сопряжены в $G'$ по данному предположению). Следовательно, множество классов сопряженных элементов группы $G'$ конечно.

${\left( {G'} \right)^{(k - 1)}} = \{ e\} $, следовательно, по предположению индукции $G'$ конечна.

$|G|\; = \;\left( {|G'| \cdot \;|A|} \right) \in \mathbb{N}$, следовательно, она конечна.