Вторая производная - почему такая нотация?

[jrMTH]

т.е. $\frac {d^2y} {dx^2}$ то же самое что и $\frac {d} {dx} \times \frac {dy} {dx}$.
если перемножить, получится $\frac {d^2y} {d^2x^2}$, а в принятой нотации степень 2 возле d в знаменателе отсутствует, почему?
т.е. какая интуиция позади этой нотации?

[sup]

Думаю, такая. Запишите первую, а потом и вторую производную, как отношение бесконечно малых.
Тогда у Вас получится "вторая разность" $y$ поделить на квадрат приращения $x$.

[jrMTH]

sup в сообщении #393174 писал(а):

Думаю, такая. Запишите первую, а потом и вторую производную, как отношение бесконечно малых.
Тогда у Вас получится "вторая разность" $y$ поделить на квадрат приращения $x$.

можете показать? сложно увидеть.

[12d3]

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{dx \cdot \frac{d}{dx}\left(dy \right) - dy \cdot \frac{d}{dx}\left(dx \right)}{(dx)^2} = \frac{dx \cdot \left(\frac{d^2 y}{dx} \right) - dy \cdot \left(\frac{d^2x}{dx} \right)}{(dx)^2} = \frac{dx \cdot \left(\frac{d^2 y}{dx} \right) }{(dx)^2} = \frac{d^2y}{dx^2}$$

Это не просто нотация, это именно формула которую можно формально вывести.

[sup]

Не претендую на абсолютную истину. Я имел в виду следующую дробь

$$\frac{y(x+\delta x) -2y(x) + y(x-\delta x)}{(\delta x)^2}$$

[Munin]

jrMTH в сообщении #393172 писал(а):

в принятой нотации степень 2 возле d в знаменателе отсутствует

Потому что у $d$ ассоциативность выше, чем у ${}^2,$ и $dx^2$ читается $(dx)^2,$ а не $d(x^2).$

[Circiter]

2jrMTH

Цитата:

а в принятой нотации степень 2 возле d в знаменателе отсутствует, почему?

В книжках по анализу специально оговаривают, что правильнее писать $(\mathrm d x)^2$, но принято сокращенно писать $\mathrm d x^2$.

-- Ср дек 29, 2010 15:02:54 --

Ой, Munin опередил. :)

2Munin
Ну тогда уж не ассоциативность, а приоритет.