Пересечение прообразов и случайные процессы

[Gortaur]

Хм, не совсем понятно насчет того, почему $X$ зависит от $\tau$. А можно этот пример адаптировать если $\tau$ - марковское время относительно фильтрации процесса $X$?

-- Пн дек 27, 2010 15:16:26 --

Хорхе в сообщении #391718 писал(а):

Пусть $A$, например, открытое (подумать надо, для каких множеств еще это справедливо). Тогда

$$P(X_\xi\in A)\le P(\exists t: X_t\in A) = P(\exists t\in \mathbb T_c: X_t\in A)\le \sum_{t\in\mathbb T_c} P(X_t\in A) =0.$$

Насколько я понял, Вы здесь используете то, что

$$ \{\omega|\exists t\in \mathbb T: X_t\in A\} = \bigcup\limits_\mahbb{T}\{\omega:X_t\in A\}? $$

-- Пн дек 27, 2010 15:17:38 --

И где написано, что cadlag процесс сепарабелен относительно замкнутых множеств?

[Хорхе]

Gortaur в сообщении #392314 писал(а):

Хм, не совсем понятно насчет того, почему $X$ зависит от $\tau$. А можно этот пример адаптировать если $\tau$ - марковское время относительно фильтрации процесса $X$?

А почему бы и не зависеть? На это ведь можно смотреть иначе: $X$ и $\tau$ как-то нетривиально связаны.

Например, $\tau$ -- всегда марковский относительно фильтрации, порожденной $X$. А если $\tau$ показательно распределен, то $X$ -- марковский.

Gortaur в сообщении #392314 писал(а):

Насколько я понял, Вы здесь используете то, что

$$ \{\omega|\exists t\in \mathbb T: X_t\in A\} = \bigcup\limits_\mahbb{T}\{\omega:X_t\in A\}? $$

Да, использую.

Gortaur в сообщении #392314 писал(а):

И где написано, что cadlag процесс сепарабелен относительно замкнутых множеств?

Нигде не написано. Это просто неправильно, я дал пример.

[Gortaur]

Да нет, Вы дали пример что он не сепарабелен относительно открытых множеств. Смотрите, по определению сепарабельности

$$ P\left[\bigcap\limits_{T_c}\{\omega|X_t\in B\}\setminus \bigcap\limits_{T}\{\omega|X_t\in B\}\right] = 0 $$

что равносильно

$$ P\left[\bigcup\limits_{T}\{\omega|X_t\in \bar{B}\}\setminus \bigcup\limits_{T_c}\{\omega|X_t\in \bar{B}\}\right] = 0 $$

по формуле де Моргана.
Мы это как раз используем чтобы показать что

$$ P\left[\bigcup\limits_{T}\{\omega|X_t\in \bar{B}\}\right] = P\left[\bigcup\limits_{T_c}\{\omega|X_t\in \bar{B}\}\right] $$

для любого открытого $A = \bar{B}$ - то есть для любого замкнутого $B$.

[Хорхе]

Ага, там пересечение в определении (для меня просто определение сепарабельности относительно семейства новое). Ну тогда да, есть сепарабельность относительно замкнутых и нет относительно открытых.

[Gortaur]

Хорхе
Знаете еще в чем дело - Ваш контрпример всем хорош кроме бесконечного временного горизонта - я имею ввиду, что $P\{\tau\leq T\}<1$ для любого конечного $T$. Можно ли построить такой же пример но для строго ограниченного времени $\tau$ сохранив при это однородную по времени марковость $X$?

[Хорхе]

Вроде о непростых вещах говорим, а такие неожиданные проблемы. Ну возьмите этот процесс от $0$ до $T$ и $\xi=\tau\wedge T$. Тогда, конечно, не будет $P(X_\xi\in A)=1$, но будет $P(X_\xi\in A)>0$.

[Gortaur]

О, да - это я уже слишком много думаю. Спасибо за применение свежей головы пойду думать дальше насчет второй своей задачи Вопрос можно закрыть.

[zhoraster]

Сказано - сделано.