Пересечение прообразов и случайные процессы

[Gortaur]

Есть функция $X(t,\omega):T\times\Omega\to \mathbb{R}^n$ и функция $\xi:\Omega\to T$. Верно ли что для любого $t\in T$ и $A\subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ множество

$$ \{\omega|X(\xi(\omega),\omega)\in A\}\cap\{\omega|\xi(\omega) = t\} \subset \{\omega|X(t,\omega)\in A\}. $$

[Null]

Да верно.

[Gortaur]

Спасибо, помогите тогда пожалуйста проверить следующее. Пусть $\Omega$ - пространство событий с вероятностной мерой $P$. Тогда $\xi:\Omega\to \mathcal{T}$ - случайное время (дискретное или непрерывное), а $X(t,\omega) = X_t$ - случайный процесс. Если $\mathcal{T}$ - дискретное, то из

$$ P(X_t\in A) =0 $$

для всех $t\in \mathcal{T}$ следует, что $P(X_\xi \in A) = 0$. Следует как раз благодаря свойству в сабже. Я не уверен, верно ли это для непрерывного времени, не могли бы проверить мое доказательство? Допустим $\mathcal{T}=[0,T]$. Тогда пусть $Q:\mathcal{B}([0,T])\in [0,1]$ -распределение $\xi$ и

$$ P(X_\xi\in A) = \int\limits_0^T P(X_\xi\in A|\xi=t)\,Q(dt)=\int\limits_0^T P(X_t\in A|\xi=t)\,Q(dt) =0. $$

Верны ли два последних перехода?

[Null]

Ваше утверждение неверно. Где у вас ошибка незнаю, условную верояность при событии с 0вой вероятностью плохо понимаю.
$\Omega=[0,1]$ $P$ -равномерное $\mathcal{T}=[0,1]$
Пусть $\xi(\omega)=(\omega)$
$X(t,\omega) = 3$ при $t=\omega$ иначе $X(t,\omega) = 0$
Тогда $ P(X_t\in [2,4]) =0 $, но $P(X_\xi \in [2,4]) = 1$

[Хорхе]

Ну да, нужна сепарабельность процесса. Это относится и к другому Вашему вопросу (если, как Вы там предполагаете, он cadlag, то он сепарабелен).

[Gortaur]

Да, процесс cadlag - к сожалению с сепарабельностью (как свойства процесса, не пространства) не знаком, сейчас пытаюсь найти материал по этому свойству. Насколько я понимаю, это будет полезно при дискретизации на некое счетное подмножество а затем предельный переход пользуясь его плотностью? Тогда каким образом это поможет доказать нужный факт?

[Хорхе]

Сепарабельность позволяет несчетные индексирующие множества свести к счетным.

Если строго, существует счетное подмножество $\mathbb T_c\subset \mathbb T$, что для любого $t\in \mathbb T$ найдется последовательность $\{t_n\}\subset \mathbb T_c$, $t_n\to t$, для которой $X_{t_n}\to X_t$.

Сходимость тут должна быть для всех $\omega$. Можно обойтись и почти наверное, только исключительное множество не должно зависеть от $t$.

Очевидно, cadlag является сепарабельным.

Пусть $A$, например, открытое (подумать надо, для каких множеств еще это справедливо). Тогда

$$P(X_\xi\in A)\le P(\exists t: X_t\in A) = P(\exists t\in \mathbb T_c: X_t\in A)\le \sum_{t\in\mathbb T_c} P(X_t\in A) =0.$$

[Gortaur]

Хорхе в сообщении #391718 писал(а):

Пусть $A$, например, открытое (подумать надо, для каких множеств еще это справедливо). Тогда

$$P(X_\xi\in A)\le P(\exists t: X_t\in A) = P(\exists t\in \mathbb T_c: X_t\in A)\le \sum_{t\in\mathbb T_c} P(X_t\in A) =0.$$

Спасибо, но не понял почему

$$ P(\exists t: X_t\in A) = P(\exists t\in \mathbb T_c: X_t\in A) $$

и для какого именно перехода нужна открытость множества $A$. Неужели измеримости в $\matchal{B}(E)$ недостаточно?

[Хорхе]

Gortaur в сообщении #391850 писал(а):

Спасибо, но не понял почему

$$ P(\exists t: X_t\in A) = P(\exists t\in \mathbb T_c: X_t\in A) $$

и для какого именно перехода нужна открытость множества $A$.

Вот именно тут нужна открытость и сепарабельность. Про измеримость надо подумать.

[Gortaur]

Было бы здорово, если бы Вы объяснили как там участвует открытость - а там может уже и по аналогии для измеримых бы получилось.

[Хорхе]

Ну вот мы пишем $\bigcup_t \{X_t\in A\}=\bigcup _{t\in \mathbb T_c} \{X_t\in A\}$. Почему мы можем так написать?

[Gortaur]

А Вы не могли бы привести ссылку на литературу по сепарабельным процессам? По крайней мере где содержится определение и некоторые свойства, а то у Булинского и Ширяева скуповато.

[Хорхе]

В Гихмане и Скороходе "Введение в ТСП" должно быть.

[Gortaur]

Так, единственное полезное определение нашел следующее:
сепарабельным относительно класса $\mathcal{A}$ называется процесс $X$ такой что для некоторого счетного всюду плотного множества $\mathbb{T}_c\subset \mathbb{T}$ существует $N\subset \Omega:P(N)=0$ и для любого $A\in\mathcal{A}$ и открытого интервала $I\subset \mathbb{R}$ выполнено

$$ \bigcap\limits_{t\in I\cap \mathbb{T}_c}\{X_t\in A\}\setminus \bigcap\limits_{t\in I\cap \mathbb{T}}\{X_t\in A\} \subset N. $$

Отсюда по формуле де Моргана получаем что

$$ \bigcup\limits_{t\in I\cap \mathbb{T}_c}\{X_t\in A^c\}\setminus \bigcup\limits_{t\in I\cap \mathbb{T}}\{X_t\in A^c\} \subset N. $$

где $A^c = E\setminus A$ - и это почти то, что Вы у меня просили, правда?

Теперь - про cadlag процесс. Он сепарабельный лишь относительно класса замкнутых множеств или все ж таки измеримых?

[Хорхе]

Сложно как-то слишком. Я вот такое просто-напросто имел в виду: пусть $X_t(\omega)\in A$. Мы знаем, что существует $\mathbb T_c\ni t_n\to t$, $X_{t_n}\to X_t$. Тогда благодаря открытости $A$ $X_{t_n}(\omega)\in A$ для достаточно больших $n$.

-- Пн дек 27, 2010 14:52:22 --

Да, для произвольных борелевских может не выполняться. Даже для замкнутых. Небольшая модификация примера Null:
пусть $A=[1,2]$, момент $\tau$ непрерывно распределен, $X= \begin{cases}0, &t<\tau\\ \tau+1-t, &t\ge \tau\end{cases}$. Тогда для всех $t$ $P(X_t\in A)=0$, но $P(X_\tau\in A)=1$.