Вступительные экзамены, химфак, 2004

[Someone]

Найти все значения параметров $a$ и $b$, при которых среди корней уравнения
$(a^2+2ab-b^2-7)^2-(2a^2-5ab+b^2+1)(x-7)5^x+\tg^2x=0$
есть два различных корня с равными абсолютными величинами.

Условие означает, что уравнение имеет такой корень $x_1>0$, что число $-x_1$ тоже является корнем. Подставляя эти значения в уравнения, получим равенства
$(a^2+2ab-b^2-7)^2-(2a^2-5ab+b^2+1)(x_1-7)5^{x_1}+\tg^2x_1=0$,
$(a^2+2ab-b^2-7)^2-(2a^2-5ab+b^2+1)(-x_1-7)5^{-x_1}+\tg^2x_1=0$.
Вычитая из первого равенства второе, найдём
$-(2a^2-5ab+b^2+1)((x_1-7)5^{x_1}-(-x_1-7)5^{-x_1})=0$,
то есть,
$(2a^2-5ab+b^2+1)((x_1-7)5^{x_1}+(x_1+7)5^{-x_1})=0$.
Возможны два случая.

1) Если $2a^2-5ab+b^2+1=0$, то уравнение принимает вид
$(a^2+2ab-b^2-7)^2+\tg^2x=0$,
откуда следует, что $a^2+2ab-b^2-7=0$ и $\tg x=0$. Можно взять, например, $x_1=\pi$, а параметры $a$ и $b$ находим из системы уравнений
$\begin{cases}2a^2-5ab+b^2+1=0\text{,}\\ a^2+2ab-b^2-7=0\text{,}\end{cases}$
откуда получаются решения
$\begin{cases}a=2\text{,}\\ b=1\end{cases}$ и $\begin{cases}a=-2\text{,}\\ b=-1\text{.}\end{cases}$

2) А вот если $(x_1-7)5^{x_1}+(x_1+7)5^{-x_1}=0$, то ситуация становится непонятной. Это уравнение имеет (единственный) положительный корень $x_1\approx 6.999999997706239983440226$, при котором $(x_1-7)5^{x_1}=(-x_1-7)5^{-x_1}\approx -0.0001792000006321861$ и $\tg^2x_1\approx 0.75942157956049519149117$. Как здесь доказать, что решений нет? Вряд ли авторы задачи предполагали использование приведённых численных значений, но и с ними-то...

[Руст]

Всё верно. Это значение задает семейство значений a,b, лежащие на кривой второго порядка, кажется на гиперболе. По видимому, составители промашку дали. Это часто случается и на вступительных экзаменах в МГУ. У нас физ-фак принимает экзамен по математике у себя, мех-мат у себя и у естественников, ВМК у себя и у гуманитариев. Такой лажи много там где принимает ВМК и физ-фак.

[Dan_Te]

Руст писал(а):

мех-мат у себя и у естественников, ВМК у себя и у гуманитариев

Не совсем верно, я принимал экзамены от мехмата на биофаке и на ФГУ. ВМиК вроде для эконома пишет варианты. Кто проводит экзамен для химфака не помню, но занятия по мат. дисциплинам там ведет мехмат, кажется, и экзамены тоже мехмат составляет. Так что лажа, предположительно, мехматская.

[RIP]

Deleted

[незваный гость]

Простите, RIP, у меня что-то выкладки не сходятся. Нельзя ли коэффициент при $C$ уточнить?

[RIP]

Простите, но яне могу найти у себя ошибку. Что получается у Вас?

[незваный гость]

Используя Вaши обозначения, имеем:
$A^2 + (2a^2-5ab+b^2+1) C + D = 0 \Leftrightarrow$ $A^2 + (2 A -9 a b + 3 b^2+ 15) C + D = 0$. Я думаю, что $9 a b$ — член преткновения.

[RIP]

Да, действительно ошибся

[Руст]

Обозначим через $E=-2a^2+5ab-b^2-1$, тогда для данного положительного значения $x_1+7=(7-x_1)5^{2x_1}, 0<x_1<7$ получаем кривую четвёртого порядка (относительно a и b ): $A^2=Ey-z, y=(7-x_1)5^{x_1}>0,z=tg^2x_1>0$.
При фиксированном E>0 параметры a и b пробегают по гиперболе. Фиксированному Е, такому, что Ey-z>0 соответствует два фиксированнызначения А, чему соответствуют две гиперболы (дополняющие друг друга с одними и теми же асимптотами). Они обязательно пересекают гиперболу Е=const, так как асимптоты A=const и E=const не совпадают. Т.е. имеется решение при каждом фиксированном Е, меняя Е от z/y до бесконечности получим целую кривую значений (кривая 4-го порядка) параметров a и b.
Так, что вряд ли экзаменаторы это предполагали для поступающих в хим-фак. Если я не ошибаюсь в химфаке, экономфаке и в гуманитарных факультетах МГУ принимает ВМК. Я через мех-мат принимал на мех-мате, на почвоведении. Наши принимали ещё в геологическом, географическом, био-факе и в других естественных факультетах. Часто встречал лажу по вине ВМК. Так, что лажа эта скорее всего, по вине ВМК.

[Highwind]

Руст писал(а):

Если я не ошибаюсь в химфаке, экономфаке и в гуманитарных факультетах МГУ принимает ВМК.

Вы ошибаетесь. На химфаке принимает мехмат. ВМиК тут вообще ни при чем. Это лажа мехмата.
ВМиК принимает, кажется, только лишь у себя, на экономфаке и в ИСАА. На всех остальных принимает мехмат (ну, кроме физфака, разумеется).

[Руст]

Тогда извиняюсь перед ВМК, за подозрение, что эта ошибка по их вине. Мне попадался задачник по вступительным экзаменам в МГУ, изданный авторами из ВМК. Там действительно было много лажи.

[bot]

Someone писал(а):

2) А вот если $(x_1-7)5^{x_1}+(x_1+7)5^{-x_1}=0$, то ситуация становится непонятной. Это уравнение имеет (единственный) положительный корень $x_1\approx 6.999999997706239983440226$, при котором $(x_1-7)5^{x_1}=(-x_1-7)5^{-x_1}\approx -0.0001792000006321861$ и $\tg^2x_1\approx 0.75942157956049519149117$. Как здесь доказать, что решений нет? Вряд ли авторы задачи предполагали использование приведённых численных значений, но и с ними-то...

Прямо следую этому, но только заменяю все навороты на буквы А и В. Получаю уравнение:

$A+B(x-7)5^x=\tg^2 x$

Откуда, подставив -х вместо х, получаю систему:

$A+B(x-7)5^x=\tg^2 x$
$A+B(-x-7)5^{-x}=\tg^2 x$

Если теперь найдётся $x\ne 0$ удовлетворяющий уравнению $(x-7)5^x+(x+7)5^{-x}=0$, то
исходное уравнение будет иметь требуемые решения при любых $a$ и $b$

Для последнего достаточно записать уравнение $(x-7)5^x+(x+7)5^{-x}=0$ в виде

$\frac{x}{7}=\frac{5^x-5^{-x}}{5^x+5^{-x}}$

и исследовать правую часть. Это нечётная функция с асимптотами $y=\pm 1$ и с производной в точке 0, равной $\ln5$, а это больше $\frac{1}{7}$ откуда следует, что искомый $x\ne 0$ найдётся.

Резюме то же самое - лажа.
P.S. Для устранения лажы надо бы заменить семёрку в $x-7$ на любое ненулевое число, не превосходящее по модулю числа $\ln_5 e$

[Brukvalub]

В другом варианте этого же года было так: Найти все значения параметров а и b, при которых среди корней уравнения $\sqrt {\cos x} + (a^2 - ab + b^2 - 3) - (4a^2 - 4 + 2ab - b^2 )(x + 1)2^x = 0$ есть два различных корня с равными абсолютными величинами. При такой формулировке задача решается чисто. Думаю, что в формулировке задачи , рассмотренной Someone, в процессе публикации варианта вкралась ошибка , и должно быть не х-7, а х+7. Вступительные кзамены по математике на химфаке принимает мех-мат, сам неоднократно участвовал.

[bot]

Brukvalub писал(а):

... Думаю, что в формулировке задачи , рассмотренной Someone, в процессе публикации варианта вкралась ошибка , и должно быть не х-7, а х+7.

Да, вот в P.S. я ошибся:

bot писал(а):

P.S. Для устранения лажы надо бы заменить семёрку в $x-7$ на любое ненулевое число, не превосходящее по модулю числа $\ln_5 e$

Сначала написал "... на положительное, не превосходящее... ", а потом решил, не проверив, что и для отрицательных тоже так, а ведь там угловой коэффициент вместо $\frac{1}{7}$ отрицательным будет, что гарантирует пересечение только в нуле (очевидно без всякого исследования, так знаки в моём уравнении противоположны).
Скорее всего косяк именно в знаке произошёл - его ведь очень просто сделать. Может быть даже и заметили, да не проверили (вроде меня), что это меняет дело.

[Someone]

Спасибо всем. Задачу я взял из книжки Ткачука. Возможно, что там просто опечатка, и вместо $x-7$ должно быть $x+7$.

А то, что при $x_1>0$, определяемом уравнением $(x_1-7)5^{x_1}+(x_1+7)5^{-x_1}=0$, решения есть, можно убедиться совсем просто. Если подставить в уравнение $b=(1+\sqrt{2})a$, получим $49-(1-3a^2\sqrt{2})(x_1-7)5^{x_1}+\tg^2x_1=0$; поскольку $x_1<7$, подходящее значение $a$ найдётся.