доказательство ВТФ?

[chulichkov2010]

Теорема доказывается так.
Выпишем явное тождество:

$1 = (\frac{1 + \sqrt{2}}{4}})+(\frac{3 - \sqrt{2}}{4}})$

В скобках содержатся иррациональные числа А и В. Умножим все тождество на любое целое число m в степени 3 (это я делаю, чтобы выполнить условие публикования здесь).
Мы получим выражение:

$m^3 = m^3(\frac{1 + \sqrt{2}}{4}})+m^3(\frac{3 - \sqrt{2}}{4}})$ (1)

Мы получили разложение целого числа в степени 3 на два иррациональных, каждое из которых в степени 3 - выражение:

$m^3 = (m\sqrt[3]{A})^3 + (m\sqrt[3]{B})^3$ (2)

Давайте посмотрим, что получилось и сверим с теорией
1) Рациональными называются числа вида p/q , где p– целое, q– натуральное числа.
2) Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.
Свойства иррациональных чисел, используемые при доказательстве:
1.Результатом сложения положительного иррационального числа с целым положительным является положительное иррациональное число. (Доказательство очевидно.)
2.Результатом вычитания положительного иррационального числа из целого положительного является положительное иррациональное число, если целая часть вычитаемого числа хотя бы на единицу меньше уменьшаемого. (Доказательство очевидно.)
3.Результатом деления положительного иррационального числа на целое положительное является положительное иррациональное число.
Доказательство.
Результат деления иррационального числа на целое в силу свойств множества действительных чисел, которому они принадлежат оба, является действительным числом. Пусть x – положительное иррациональное число, а n– целое положительное и y=x/n . Отсюда и из свойств арифметических операций над действительными числами следует, что у – положительное число. Допустим, y – рациональное число. Из условия следует, что - выражение:

x=yn (i)

Из группового свойства рациональных чисел относительно операции умножения, число (yn) должно быть рациональным, т.к n– целое положительное число по условию (принадлежность множеству целых чисел является гарантией принадлежности и множеству рациональных чисел), а y – рациональное по нашему предположению. Тогда согласно (i) рациональное число (yn) должно быть равно иррациональному x, что невозможно. Следовательно, наше допущение неверно и в силу вышеприведенного определения иррационального числа y– положительное иррациональное число. Свойство доказано.
4.Результатом умножения положительного иррационального числа на целое положительное является положительное иррациональное число. (Доказательство проводится по аналогии с предыдущим пунктом).
5.Результатом извлечения арифметического корня n-ой степени из положительного иррационального числа, где n – положительное целое число, является положительное иррациональное число. (Доказательство проводится по аналогии с пунктом 3).
Выводы.
1)Из определений и свойств 1,2,3 следует, что числа А и В в выражении (1) являются положительными иррациональными числами.
2)Из свойств 5 и 4 следует, что в скобках в выражении (2) содержатся положительными иррациональные числа.
Итак, нами доказана первая часть теоремы:
любое целое положительное число с в степени 3 можно представить в виде суммы двух положительных иррациональных чисел, каждое из которых возведено в ту же степнь 3.

Теперь надо доказать вторую часть:
если произвольное целое положительное число С в степени 3 может быть представлено суммой двух положительных иррациональных чисел P и Q, каждое из которых возведено в степень 3, то это же самое число С в степени 3, [b]невозможно представить в виде суммы двух целых положительных чисел M и N, каждое из которых возведено в степень 3.

Для доказательства этой части используем следующее:
если при определнных условиях A=B+C, то A= Bx1+Cx1, т.е. уравнение A=BxR+CxT, должно иметь корни R=T=1. Если таких корней нет, то при этих условиях A не равно (B+C).

Итак, во второй части докажем, что
если для данных целых положительных чисел с выполняется выражение

$ a^3+b^3 = c^3 $ (3)

где a и b– положительные иррациональные числа, то решением уравнения с неизвестными x, y:

$ p^3x+q^3y = c^3 $ (4)

при тех же с и при произвольных целых положительных коэффициентах p и q не может быть x=y=1.
Приведем уравнение (4) к виду:

${ p\sqrt[3]{x}}^3+{ q\sqrt[3]{x}}^3y = c^3 $ (5)

где выражения в скобках согласно задаваемому леммой выражению будут равны:

${a= p\sqrt[3]{x}} $ (6)

${b= p\sqrt[3]{y}} $ (7)

или

${\sqrt[3]{x} = \frac{a }p $ (8)

${\sqrt[3]{y} = \frac{b }p $ (9)

Поскольку по условию леммы a и b– положительные иррациональные числа, а p и q - положительные целые числа, то числа в правой и левой частях выражений (8) и (9) являются положительными иррациональными числами в силу свойства 3, приведенного выше. Последнему выводу будет противоречить допущение, что , поскольку корень кубический из единицы не является иррациональным числом. Отсюда, в силу произвольности p и q это доказано для любых целых положительных чисел с и n=3 , если для них выполняется выражение (3).
Итак, Великая теорема Ферма доказана математическими средствами, которые были хорошо известны в 17-м веке и еще пару тысячелетий до этого. Более аккуратное доказательство я опубликовал на своем сайте для произвольной натуральной степени n.
С наступающим Новым 2011-м Годом! И всех благ каждому!!!
О.Г.Чуличков

[venco]

Равенствами (6) и (7) Вы резко ограничили множество проверяемых решений. С этими условиями, возможно, решений и нет (дальше не проверял). Но т.к. Вы исключили класс решений, где соответствующие слагаемые не равны, то доказательство исходной теоремы (ВТФ) отсутствует.

[bot]

chulichkov2010 в сообщении #392643 писал(а):

Результатом сложения положительного иррационального числа с целым положительным является положительное иррациональное число. (Доказательство очевидно.)

Очевидно лишь то, что утверждение неверно:
Берём два положительных иррациональных числа $\sqrt2$ и $2-\sqrt2$. Их сумма равна целому числу 2.

[zhoraster]

Предупреждение за захват тем и дублирование! Тема отделена, дубль удален.

[r-aax]

Вас не смущает, что при $n = 2$ получается тот же результат?

[chulichkov2010]

r-aax в сообщении #392677 писал(а):

Вас не смущает, что при $n = 2$ получается тот же результат?

Нет не смущает, т.к. результата на будет никакого, потому что все рассуждения в теореме будут не уместны. В самом начале в знаменателях стоят четверки. При больших n они уходят под корень и остаются там, а при n=2 они выплывают из под корня. Умножьте на 4 самое первое тождество при n=2 и Вы получите правую часть, четную в ЯВНОМ виде, а левую - ???? не понятно в каком (разве что в неявном - но что это такое я не знаю) Поэтому при n=2 ВСЕ рассуждения в доказательстве будут некорректными.

-- Вт дек 28, 2010 10:41:10 --

zhoraster в сообщении #392667 писал(а):

Предупреждение за захват тем и дублирование! Тема отделена, дубль удален.

Простите, это ко мне относится?
Я что-то не то сделал?

[Алексей К.]

chulichkov2010 в сообщении #392643 писал(а):

$ p^3x+q^3y = c^3 $ (4)

..............
Приведем уравнение (4) к виду:

${ p\sqrt[3]{x}}^3+{ q\sqrt[3]{x}}^3y = c^3 $ (5)

Это как? Действительно, (4) можно привести к виду (5)???

Советую использовать двойные доллары для автоматического центрирования формул:
код $$a^2+b^2=c^2\eqno(111)$$ даёт:

$$a^2+b^2=c^2\eqno(111)$$

[chulichkov2010]

Алексей К. в сообщении #392700 писал(а):

chulichkov2010 в сообщении #392643 писал(а):

$ p^3x+q^3y = c^3 $ (4)

..............
Приведем уравнение (4) к виду:

${ p\sqrt[3]{x}}^3+{ q\sqrt[3]{x}}^3y = c^3 $ (5)

Это как? Действительно, (4) можно привести к виду (5)???

Советую использовать двойные доллары для автоматического центрирования формул:
код $$a^2+b^2=c^2\eqno(111)$$ даёт:

$$a^2+b^2=c^2\eqno(111)$$

Спасибо за подсказку, у меня уже глаз "замылился" и я не заметил.
И за доллары тоже.
Приведем уравнение (4) к виду:

$$({ p\sqrt[3]{x}})^3+({ q\sqrt[3]{y}})^3 = c^3 \eqno(5)$$

Да.... пора мне идти спать, bot совершенно прав

[Алексей К.]

Я подставил $x=27,\;y=11$ в (4) и в обновлённое (5). Опять ерунда получается...

[migmit]

chulichkov2010 в сообщении #392643 писал(а):

где выражения в скобках согласно задаваемому леммой выражению будут равны:
${a= p\sqrt[3]{x}} $ (6)

${b= p\sqrt[3]{y}} $ (7)

Этот вывод необоснован.

[chulichkov2010]

Перемещено из другой (ошибочной)темы сюда.
Отвечаю заслуженному участнику bot:
Я утверждал (а не утверждала), что сумма иррационального и целого есть иррациональное. Вы взяли два иррациональных. Мат. часть за сорок лет выучил так, что
и ночью помню.(У меня, кстати, сейчас глубокая ночь.) Поэтому советую Вам вчитаться немного внимательнее.

Отвечаю заслуженному участнику venco:
1) Выражения (6) и (7) с необходимостью вытекают из следующего.
Было доказано в первой части доказательства, что целое число может быть разложено на сумму двух иррациональных, разумеется все они возведены в одну степень, допустим - 3
Поэтому эти выражения я имею ПРАВО использовать во второй части (более того, я не ИМЕЮ права использовать иные) как исходные условия.
2) Я не случайно привел определение ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел.
Класс иррациональных чисел не пересекается с классом рациональных, но только вместе они составляют объем всех действительных чисел
Число может быть ИЛИ рациональным ИЛИ иррациональным - другого не дано.
Оно не может быть чуть-чуть одним и чуть-чуть другим. Поэтому приравнивать иррациональное к рациональному...., например, непериодическую десятичную дробь к периодической(целые имеют ноль в периоде в своей дробной части) - некорректно. Посему считаю, что Ваши замечания ничем не обоснованы.
Другое дело, что я наконец-то выучился писать формулы в нужном формате здесь на форуме. А до этого пытался несколько раз поместить ссылку на свой сайт, где все доказано более аккуратней, но модераторы меня "выбрасывали". Тем не менее, думаю, что более сметливые найдут его.

И последнее. Прелесть этого доказательства в том, что оно состоит из двух частей; каждая из них сама по себе не многого стоит. Но вместе они дополняют друг друга так, что получается весьма и весьма прелюбопытный факт теории чисел. Мы, к сожалению, слишком высокомерно относимся к пифагорейцам, а этот метод доказательства - чисто в пифагорейском стиле. Вспомните: Целое - это то, что не имеет ни одной отсутствующей части, а часть - это то, из чего состоит целое. Я никогда не был "ферматиком". И сейчас вышел на эту теорему чисто случайно пару недель назад.
Я занимался физикой и "золотым сечением" и из суммы квадратов синуса и косинуса угла 36 градусов (пи на пять),равной единице, случайно вышел на Ферма. Вы уж извините, что вмешался в ваши бурные обсуждения.
Не спешите... Встретьте Новый Год. Пусть это доказательство немного отлежится у Вас.
А через пару недель вернитесь к нему. Это самый верный способ.
Итак, поздравляю вас обоих с наступающим! Всего доброго вам!
И еще для bot
Сегодня мой дебют на форумах. И где я нахожусь в данный момент и как сюда попасть следующий раз понятия не имею.

-- Вт дек 28, 2010 11:40:45 --

Алексей К. в сообщении #392707 писал(а):

Я подставил $x=27,\;y=11$ в (4) и в обновлённое (5). Опять ерунда получается...

Я исправил и на будущее исправлюсь

[r-aax]

chulichkov2010 в сообщении #392687 писал(а):

В самом начале в знаменателях стоят четверки. При больших n они уходят под корень и остаются там, а при n=2 они выплывают из под корня.

При чем тут четверки в знаменателе? Какой переход в Ваших рассуждениях нельзя применить при $n = 2$ ?

[Алексей К.]

chulichkov2010,

эклектично Вы как-то пишете.

Поначалу Вы, со всею скрупулёзностью, приводите свойства иррациональных чисел, вполне очевидные. И даже чего-то на всякий случай передоказываете.

Когда же Вам указывают на явный ляп в доказательстве, Вы меняете стиль, что-то там у Вас "выплывает из под корня", появляются "не уместные рассуждения" (орфография унаследована от автора темы) итд. А вот тут-то прежней скрупулёзности и хочется.

chulichkov2010 в сообщении #392687 писал(а):

r-aax в сообщении #392677 писал(а):

Вас не смущает, что при $n = 2$ получается тот же результат?

Нет не смущает, т.к. результата на будет никакого, потому что все рассуждения в теореме будут не уместны. В самом начале в знаменателях стоят четверки. При больших n они уходят под корень и остаются там, а при n=2 они выплывают из под корня.

Уплыть четвёрку из-под кубокорня --- тоже делов на два пальца: $\sqrt[3]{\dfrac{1+\sqrt3}{4}}=\sqrt[3]{\dfrac{2(1+\sqrt3)}{8}}=\ldots$

Рассмотрев подробно случай $3^2+4^2\ne 5^2$ Вы, быть может, поймёте свою оплошность (хотя явное указание на неё уже было и не помогло). Никто там никуда не уплывает, доказательства полностью идентичны.

[chulichkov2010]

Да. Вы совершенно правы. Теперь мне этот ляп очевиден. Спасибо всем за науку.
Убедился лишний раз, что коллектив - это мощная сила.
Одного не пойму, какой леший попутал меня с этой идеей?
Думаю, что тема должна быть закрыта. Но как? Не знаю.
Если кто знает, подскажите модераторам.
Всего доброго всем. С форума ухожу.
С наступающим Новым Годом!
О.Г.Чуличков

[zhoraster]

Сказано - сделано.

Перенесена в "Пургаторий (М)" по просьбе автора.