Binomial sum(1)

[man111]

If $p+q=1$. Then prove that $\sum_{r=0}^{n}r^2\binom{n}{r}p^rq^{n-r}=npq+n^2p^2$

[caxap]

Т. к. $\binom nr=\frac nr\binom{n-1}{r-1}$, то $r\binom nr=n\binom{n-1}{r-1}$, поэтому

$$\begin{gathered} \sum_{r=0}^{n}r^2\binom{n}{r}p^rq^{n-r}=n(n-1)\sum_{r=0}^n\binom{n-2}{r-2} p^r q^{n-r}+n\sum_{r=0}^n\binom{n-1}{r-1} p^r q^{n-r}=:A+B\\ A=\Big[\begin{array}{cc}n-2=:m\\r-2=:k\end{array}\Big]=n(n-1)p^2\sum_{k=-2}^m\binom mk p^k q^{m-k}=n(n-1)p^2\sum_{k=0}^m\ldots=n(n-1)p^2\\ B=\Big[\text{аналогично}\Big]=np \end{gathered}$$

Но $n(n-1)p^2+np=n^2p^2-np^2+np=n^2p^2+npq$.

[man111]

Thanks caxap.

[EtCetera]

Еще один вариант:

$$\sum\limits_{r=0}^{n}r^2\binom{n}{r}p^r q^{n-r}=\sum\limits_{r=0}^{n}\left.\left(e^{rx}\right)''\right|_{x=0}\binom{n}{r}p^r q^{n-r}=\left.\left(\sum\limits_{r=0}^{n}\binom{n}{r}\left(pe^x\right)^r q^{n-r}\right)''\right|_{x=0}=\left.\left(\left(pe^x+q\right)^n\right)''\right|_{x=0}=\dots$$

[man111]

Thanks Etctera. for very nice solution.

[caxap]

(EtCetera)

Вот постоянно смотрю, как вы таким способом берёте разные суммы. Вроде бы всё понимаю. Но как сам пытаюсь этот подход применить -- ничего не получается Приходится идти длинным окольным путём.

[Trius]

(Оффтоп)

Сумма равна мат.ожиданию квадрата биномиально распределенной величины