Гиперкуб - вершины и грани

[serval]

Цитата:

"Кроме первой" вершины, или "кроме первой" координаты?

Кроме первой координаты.

Цитата:

Вообще ненулевыми будут все координат.

Если бы куб располагался как предполагалось изначально, одной вершиной в начале координат, то нулевых координат было бы полно.

-- Пн дек 27, 2010 16:47:20 --

Цитата:

лежащими в нём векторами

Линейно независимыми?

[Munin]

serval в сообщении #392395 писал(а):

Если бы куб располагался как предполагалось изначально, одной вершиной в начале координат, то нулевых координат было бы полно.

Вы можете выражаться внятно? Нулевых координат было бы полно у некоторых вершин. В то же время, было бы полно вершин, у которых бы нулевых координат не было бы - для больших $N$ намного больше, чем вершин, у которых хотя бы одна координата нулевая.

serval в сообщении #392395 писал(а):

Линейно независимыми?

Да, везде.

[serval]

Ну все верно.
Вот вектор нормали

$\vec n_1=\left(\begin{array}{ccccc} 5\\4\\3\\2\\1\end{array}\right)$

а вот $4$ линейно независимых принадлежащих одной гиперплоскости вектора

$\vec v_{41}=(-1,1,0,0,1)$
$\vec v_{32}=(-1,0,1,1,0)$
$\vec v_{31}=(0,-1,1,0,1)$
$\vec v_{21}=(0,0,-1,1,1)$

с требуемыми свойствами - младшая ненулевая координата равна $-1$, а две оставшиеся ненулевые координаты равны $1$ каждая

-- Пн дек 27, 2010 17:28:55 --

Так есть ли способ узнать - по каким точкам гиперплоскость, заданная вектором нормали, рассечет гиперкуб?

[Munin]

serval в сообщении #392413 писал(а):

с требуемыми свойствами - младшая ненулевая координата равна $-1$, а две оставшиеся ненулевые координаты равны $1$ каждая

Вы впервые внятно изложили, что именно вам требуется. До этого никто не знал, что вам нужно, и никто не мог ответить именно на ваш случай.

serval в сообщении #392413 писал(а):

Так есть ли способ узнать - по каким точкам гиперплоскость, заданная вектором нормали, рассечет гиперкуб?

Есть. Переводите всё на алгебраический язык, и решаете уравнения или неравенства.

[serval]

Цитата:

Переводите всё на алгебраический язык

Дано: вектор $\vec n=(a,\ b,\ c,\ \ldots)$ размерности $N$ и гиперкуб той же размерности с центром в начале координат и ребром равным $2$ (каждая из координат любой вершины может принимать значения $-1,0$ либо $1$).
Найти: координаты вершин и точек на ребрах гиперкуба принадлежащих его сечению гиперплоскостью с вектором нормали $\vec n$.

Как записать задачу алгебраически?

-- Пн дек 27, 2010 20:40:33 --

Цитата:

Вы впервые внятно изложили, что именно вам требуется.

Потому что впервые, с вашей помощью, понял картину.

[Null]

Цитата:

$N$ и гиперкуб той же размерности с центром в начале координат и ребром равным $2$ (каждая из координат любой вершины может принимать значения $-1,0$ либо $1$)

Такого куба не существует при $N\ge3$
Может ваша задача такая:
Есть $x=(x_1,\dots,x_n)$, найти количество $a=(a_1,\dots,a_n)$ c $a_i\in\{-1,0,1\}$, таких что $(a,x)=0$?

[serval]

Какое из условий невыполнимо:
1. Центр в начале координат.
2. Грани отсекают на координатных осях отрезки длины 1.
?

Или я опять чего-то не соображу?

[ИСН]

У всех его вершин все координаты либо -1, либо 1 (а 0 - никогда). Если Вы этого и хотели, то продолжим разговор.

[Munin]

serval в сообщении #392519 писал(а):

Как записать задачу алгебраически?

Записать уравнения для рёбер гиперкуба, и для каждого $i$-го ребра решить систему уравнений

$$\left\{\begin{array}{c}\text{уравнение для \(i\)-го ребра}\\ \text{уравнение для секущей гиперплоскости}\end{array}\right.$$

Решение будет точкой, если ребро не параллельно гиперплоскости, иначе будет нуль или бесконечно много решений. Каждую точку надо проверить на принадлежность ребру гиперкуба (она может пересекать прямую вне отрезка, на его продолжении).

[serval]

Мне нужно не количество. Мне они нужны в явном виде.
Еще лучше - выражение координат $a$ через координаты $x$ в общем виде.

Цитата:

У всех его вершин все координаты либо -1, либо 1 (а 0 - никогда).

Правильно. Это я думал о точках на ребрах которые могут принадлежать сечению.

[Munin]

serval в сообщении #392355 писал(а):

Пусть размерность указанного гиперкуба $N=5$.
Среди его вершин будут и определяемые векторами $\vec v_{41}=(-1,1,0,0,1)$ и $\vec v_{32}=(-1,0,1,1,0)$.
Скалярные произведение этих векторов с вектором $\vec n_1=\left(\begin{array}{ccccc} 5\\4\\3\\2\\1\end{array}\right)$ равны нулю, значит они принадлежат одной гиперплоскости.
Но никакие $N-3=2$ из их координат не равны одновременно. Значит, векторы $\vec v_{41}$ и $\vec v_{41}$ принадлежат не грани, а сечению гиперкуба гиперплоскостью с нормалью $\vec n_1$. Следовательно, в начале координат лежит не его вершина, а его центр. Так?

В своё время ничего конкретного не смог сказать по этому примеру. Сейчас сообразил, почему: двумя этими векторами положение гиперкуба в 5-мерном пространстве задано не полностью. То есть, если зафиксировать три вершины, он может ещё вертеться. Чтобы однозначно (или двузначно) задать положение гиперкуба в $N$-мерном пространстве, необходимо зафиксировать $N$ вершин, или $N-1$ векторов между ними.

[serval]

Мы уже выяснили, что

ИСН в сообщении #392539 писал(а):

У всех его вершин все координаты либо -1, либо 1 (а 0 - никогда).

Посыпаю голову пеплом, но, все-же, прошу помочь с этим

ИСН в сообщении #392539 писал(а):

Записать уравнения для рёбер гиперкуба, и для каждого $i$-го ребра решить систему уравнений

Два учебниках по аналитической геометрии ограничиваются трехмерием, а как перейти к многомению - не соображу.
Конкретно.
Пусть размерность пространства $N=4$ и в нем нужно найти пересечение двух гиперплоскостей

$\begin{cases} \ 4x_1+3x_2+2x_3+x_4=0\\ \ x_1=1 \end{cases}$

Пожалуйста, покажите как это решить.
И еще. Если куб $N$-мерный, а точка принадлежащая его поверхности имеет только $3$ ненулевые координаты - где она лежит? Если на $3$-мерной грани, то как эту грань получить?

[Munin]

serval в сообщении #394872 писал(а):

Два учебниках по аналитической геометрии ограничиваются трехмерием, а как перейти к многомению - не соображу.

Читайте учебники по линейной алгебре. Это обобщение аналитической геометрии на произвольное число измерений.

[paha]

serval в сообщении #394872 писал(а):

Пусть размерность пространства $N=4$ и в нем нужно найти пересечение двух гиперплоскостей

$\begin{cases} \ 4x_1+3x_2+2x_3+x_4=0\\ \ x_1=1 \end{cases}$

Так уже все решено)))

$$ x_1=1,\quad x_2=u,\quad x_3=v,\quad x_4=-4-3u-2v,\quad u,v\in\mathbb{R} $$

Двумерное афинное подпространство

-- Вт янв 04, 2011 02:19:56 --

Ведь гиперплоскость $x_1=0$ -- обычное трехмерное пространство, живущее в четырехмерном как $(1,x_2,x_3,x_4)$

[serval]

Спасибо.
А второй вопрос?