Гиперкуб - вершины и грани

[serval]

Возможно, задача покажется простой, но возникла она неожиданно и как ее решать я пока не соображу.

Пусть гиперкуб размерности $N$ имеет ребро длины $1$, одна из его вершин расположена в начале координат, другая в точке $x=-1$, а все прочие координаты вершин не могут быть отрицательными.
Нужно скомпоновать вершины гиперкуба по принадлежности к $3$-мерным граням.
Как подойти к задаче? Пожалуйста, помогите.

P.S. Для примера можно взять какую-нибудь конкретную размерность.

[Null]

8 Вершин принадлежат одной грани если у них N-3 координаты совпадают. Вроде ребра этого куба будут параллельны осям координат.

[Munin]

serval в сообщении #392315 писал(а):

Пусть гиперкуб размерности $N$ имеет ребро длины $1$, одна из его вершин расположена в начале координат, другая в точке $x=-1$, а все прочие координаты вершин не могут быть отрицательными.

Так расположить гиперкуб нельзя (кроме случая $N=1$).

[serval]

Пусть размерность указанного гиперкуба $N=5$.
Среди его вершин будут и определяемые векторами $\vec v_{41}=(-1,1,0,0,1)$ и $\vec v_{32}=(-1,0,1,1,0)$.
Скалярные произведение этих векторов с вектором $\vec n_1=\left(\begin{array}{ccccc} 5\\4\\3\\2\\1\end{array}\right)$ равны нулю, значит они принадлежат одной гиперплоскости.
Но никакие $N-3=2$ из их координат не равны одновременно. Значит, векторы $\vec v_{41}$ и $\vec v_{41}$ принадлежат не грани, а сечению гиперкуба гиперплоскостью с нормалью $\vec n_1$. Следовательно, в начале координат лежит не его вершина, а его центр. Так?

Пусть мы подействовали на вектор $\vec n_1$ неким линейным оператором и получили вектор нормали $\vec n_2$.
Как узнать, будет ли содержать сечение гиперкуба новой гиперплоскостью целые точки?

[ИСН]

serval, у Вас какая-то сумятица в понятиях. Плоскость не задаётся нормальным вектором (вернее, задаётся не только вектором). А в начале координат лежит то, что положили. Вершина, так вершина. В высоких размерностях многое противно интуиции, но не настолько, чтобы положил, отвернулся - хоп! - а уже нету.

[serval]

ИСН в сообщении #392357 писал(а):

Плоскость не задаётся нормальным вектором (вернее, задаётся не только вектором).

Вектора нормали недостаточно? А что еще нужно?
Конечно, у меня сумятица, потому и прошу помочь разобраться.

[ИСН]

А Вы поглядите на простые русские берёзки родное трёхмерие. A, B, C, D...

[serval]

Munin в сообщении #392353 писал(а):

Так расположить гиперкуб нельзя (кроме случая $N=1$).

Действительно. Спасибо.

-- Пн дек 27, 2010 15:25:04 --

А вы покажите куда поглядеть. У меня есть конкретная задача и я просто прошу помощи. И только.

[ИСН]

Ну ёлки, обычное уравнение плоскости у нас какое? Параметры в нём какие? Сколько их?

[serval]

Я не хочу параметры. Я хочу вектор нормали. Его будет достаточно? Или недостаточно?

-- Пн дек 27, 2010 15:33:03 --

Хотя ... Они же наверняка связаны.

[ИСН]

Вот да, связь есть. Но я спросил не для этого, ключевая часть - сколько их...
Ладно, давайте с другой стороны. Вот две параллельные плоскости (разные, но параллельные. но разные); что у них с векторами нормали?

[serval]

У них один вектор нормали.

[Munin]

serval в сообщении #392355 писал(а):

Пусть размерность указанного гиперкуба $N=5$.
Среди его вершин будут и определяемые векторами $\vec v_{41}=(-1,1,0,0,1)$ и $\vec v_{32}=(-1,0,1,1,0)$.

Получается, у вас уже две вершины с отрицательными координатами.

[serval]

Munin в сообщении #392376 писал(а):

Получается, у вас уже две вершины с отрицательными координатами.

У меня не должно было быть вершин с отрицательными координатами кроме первой. Но и этого я уже не требую. Отрицательной может быть лишь первая из трех ненулевых координат вершины. Но пока не будем усложнять.

-- Пн дек 27, 2010 15:58:58 --

В общем виде, вопрос таков - можно ли рассечь гиперкуб какой-либо другой гиперплоскостью кроме нормальной вектору $\vec n_1$ так, чтобы сечение содержало такие (младшая из трех ненулевых координат имеет значение $-1$, каждая из двух других имеет значение $1$) целые точки?

[Munin]

serval в сообщении #392370 писал(а):

Я не хочу параметры. Я хочу вектор нормали. Его будет достаточно? Или недостаточно?

В $N$-мерном линейном пространстве:
0-мерное подпространство (не проходящее через начало координат) задаётся просто точкой
1-мерное подпространство ("прямая") задаётся точкой, через которую проходит, и: 1 лежащим в нём вектором, или $N-1$ перпендикулярными ему векторами
2-мерное подпространство ("плоскость") задаётся точкой, через которую проходит, и: 2 лежащими в нём векторами, или $N-2$ перпендикулярными ему векторами
...
$N-2$-мерное подпространство ("$N-2$-плоскость") задаётся точкой, через которую проходит, и: $N-2$ лежащими в нём векторами, или 2 перпендикулярными ему векторами
$N-1$-мерное подпространство ("гиперплоскость") задаётся точкой, через которую проходит, и: $N-1$ лежащими в нём векторами, или 1 перпендикулярным ему вектором

Задание перпендикулярными векторами имеет вид системы уравнений:
$\displaystyle\left\{\begin{array}{c} A_1\cdot(v-v_0)=0\\ \cdots\\ A_N\cdot(v-v_0)=0 \end{array}\right.$
где $A_i$ - перпендикулярные векторы, $v_0$ - принадлежащая точка.

Задание принадлежащими векторами имеет вид уравнения:
$v=v_0+k_1A_1+\ldots+k_NA_N$
где $A_i$ - принадлежащие векторы, $v_0$ - принадлежащая точка, $\forall k_1,\ldots k_N\in\matnbb{R}$ - коэффициенты, принимающие произвольное значение. В частном случае прямой линии коэффициент один, и уравнение может быть записано в виде
$\dfrac{(v-v_0)_1}{A_1}=\ldots=\dfrac{(v-v_0)_N}{A_N}$

-- 27.12.2010 17:04:38 --

serval в сообщении #392379 писал(а):

У меня не должно было быть вершин с отрицательными координатами кроме первой.

"Кроме первой" вершины, или "кроме первой" координаты? Выражайтесь яснее.

serval в сообщении #392379 писал(а):

Отрицательной может быть лишь первая из трех ненулевых координат вершины.

Вообще ненулевыми будут все $N$ координат.