2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 14:05 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Возможно, задача покажется простой, но возникла она неожиданно и как ее решать я пока не соображу.

Пусть гиперкуб размерности $N$ имеет ребро длины $1$, одна из его вершин расположена в начале координат, другая в точке $x=-1$, а все прочие координаты вершин не могут быть отрицательными.
Нужно скомпоновать вершины гиперкуба по принадлежности к $3$-мерным граням.
Как подойти к задаче? Пожалуйста, помогите.

P.S. Для примера можно взять какую-нибудь конкретную размерность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 14:16 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
8 Вершин принадлежат одной грани если у них N-3 координаты совпадают. Вроде ребра этого куба будут параллельны осям координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
serval в сообщении #392315 писал(а):
Пусть гиперкуб размерности $N$ имеет ребро длины $1$, одна из его вершин расположена в начале координат, другая в точке $x=-1$, а все прочие координаты вершин не могут быть отрицательными.

Так расположить гиперкуб нельзя (кроме случая $N=1$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:10 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Пусть размерность указанного гиперкуба $N=5$.
Среди его вершин будут и определяемые векторами $\vec v_{41}=(-1,1,0,0,1)$ и $\vec v_{32}=(-1,0,1,1,0)$.
Скалярные произведение этих векторов с вектором $\vec n_1=\left(\begin{array}{ccccc} 5\\4\\3\\2\\1\end{array}\right)$ равны нулю, значит они принадлежат одной гиперплоскости.
Но никакие $N-3=2$ из их координат не равны одновременно. Значит, векторы $\vec v_{41}$ и $\vec v_{41}$ принадлежат не грани, а сечению гиперкуба гиперплоскостью с нормалью $\vec n_1$. Следовательно, в начале координат лежит не его вершина, а его центр. Так?

Пусть мы подействовали на вектор $\vec n_1$ неким линейным оператором и получили вектор нормали $\vec n_2$.
Как узнать, будет ли содержать сечение гиперкуба новой гиперплоскостью целые точки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
serval, у Вас какая-то сумятица в понятиях. Плоскость не задаётся нормальным вектором (вернее, задаётся не только вектором). А в начале координат лежит то, что положили. Вершина, так вершина. В высоких размерностях многое противно интуиции, но не настолько, чтобы положил, отвернулся - хоп! - а уже нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:17 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
ИСН в сообщении #392357 писал(а):
Плоскость не задаётся нормальным вектором (вернее, задаётся не только вектором).

Вектора нормали недостаточно? А что еще нужно?
Конечно, у меня сумятица, потому и прошу помочь разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А Вы поглядите на простые русские берёзки родное трёхмерие. A, B, C, D...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:23 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Munin в сообщении #392353 писал(а):
Так расположить гиперкуб нельзя (кроме случая $N=1$).

Действительно. Спасибо.

-- Пн дек 27, 2010 15:25:04 --

А вы покажите куда поглядеть. У меня есть конкретная задача и я просто прошу помощи. И только.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну ёлки, обычное уравнение плоскости у нас какое? Параметры в нём какие? Сколько их?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:30 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Я не хочу параметры. Я хочу вектор нормали. Его будет достаточно? Или недостаточно?

-- Пн дек 27, 2010 15:33:03 --

Хотя ... Они же наверняка связаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Вот да, связь есть. Но я спросил не для этого, ключевая часть - сколько их...
Ладно, давайте с другой стороны. Вот две параллельные плоскости (разные, но параллельные. но разные); что у них с векторами нормали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:48 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
У них один вектор нормали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
serval в сообщении #392355 писал(а):
Пусть размерность указанного гиперкуба $N=5$.
Среди его вершин будут и определяемые векторами $\vec v_{41}=(-1,1,0,0,1)$ и $\vec v_{32}=(-1,0,1,1,0)$.

Получается, у вас уже две вершины с отрицательными координатами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 16:54 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Munin в сообщении #392376 писал(а):
Получается, у вас уже две вершины с отрицательными координатами.

У меня не должно было быть вершин с отрицательными координатами кроме первой. Но и этого я уже не требую. Отрицательной может быть лишь первая из трех ненулевых координат вершины. Но пока не будем усложнять.

-- Пн дек 27, 2010 15:58:58 --

В общем виде, вопрос таков - можно ли рассечь гиперкуб какой-либо другой гиперплоскостью кроме нормальной вектору $\vec n_1$ так, чтобы сечение содержало такие (младшая из трех ненулевых координат имеет значение $-1$, каждая из двух других имеет значение $1$) целые точки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперкуб - вершины и грани
Сообщение27.12.2010, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
serval в сообщении #392370 писал(а):
Я не хочу параметры. Я хочу вектор нормали. Его будет достаточно? Или недостаточно?

В $N$-мерном линейном пространстве:
0-мерное подпространство (не проходящее через начало координат) задаётся просто точкой
1-мерное подпространство ("прямая") задаётся точкой, через которую проходит, и: 1 лежащим в нём вектором, или $N-1$ перпендикулярными ему векторами
2-мерное подпространство ("плоскость") задаётся точкой, через которую проходит, и: 2 лежащими в нём векторами, или $N-2$ перпендикулярными ему векторами
...
$N-2$-мерное подпространство ("$N-2$-плоскость") задаётся точкой, через которую проходит, и: $N-2$ лежащими в нём векторами, или 2 перпендикулярными ему векторами
$N-1$-мерное подпространство ("гиперплоскость") задаётся точкой, через которую проходит, и: $N-1$ лежащими в нём векторами, или 1 перпендикулярным ему вектором

Задание перпендикулярными векторами имеет вид системы уравнений:
$\displaystyle\left\{\begin{array}{c}
A_1\cdot(v-v_0)=0\\
\cdots\\
A_N\cdot(v-v_0)=0
\end{array}\right.$
где $A_i$ - перпендикулярные векторы, $v_0$ - принадлежащая точка.

Задание принадлежащими векторами имеет вид уравнения:
$v=v_0+k_1A_1+\ldots+k_NA_N$
где $A_i$ - принадлежащие векторы, $v_0$ - принадлежащая точка, $\forall k_1,\ldots k_N\in\matnbb{R}$ - коэффициенты, принимающие произвольное значение. В частном случае прямой линии коэффициент один, и уравнение может быть записано в виде
$\dfrac{(v-v_0)_1}{A_1}=\ldots=\dfrac{(v-v_0)_N}{A_N}$

-- 27.12.2010 17:04:38 --

serval в сообщении #392379 писал(а):
У меня не должно было быть вершин с отрицательными координатами кроме первой.

"Кроме первой" вершины, или "кроме первой" координаты? Выражайтесь яснее.

serval в сообщении #392379 писал(а):
Отрицательной может быть лишь первая из трех ненулевых координат вершины.

Вообще ненулевыми будут все $N$ координат.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group