Функ. ан., норма функционала

[BapuK]

Дан функционал, действующий в $C[0,2]$

$$F(y) = \int\limits_0^2 (x-1)y(x)dx$$

нужно найти норму функционала
оценку сверху получил, равна единице, как получить оценку снизу?

$C[0,2]$ - пр-во непрерывных функций на отрезке $[0,2]$ с нормой $\|y(x)\| = \max\limits_{0 \geq x \geq 2} |y(x)|$

[Hymilev]

Все просто - функционал линейный следовательно его норма это максимальное значение на функции норма которой равна единице, таким образом надо выбрать так y(x) из класса что бы максимизировать интеграл

[moscwicz]

BapuK в сообщении #392318 писал(а):

Дан функционал, действующий в $C[0,2]$

$$F(y) = \int\limits_0^2 (x-1)y(x)dx$$

нужно найти норму функционала
оценку сверху получил, равна единице, как получить оценку снизу?

$C[0,2]$ - пр-во непрерывных функций на отрезке $[0,2]$ с нормой $\|y(x)\| = \max\limits_{0 \geq x \geq 2} |y(x)|$

Рассмотрите значения функционала на последовательности непрерывных функций, поточечно сходящейся к $sgn(x-1)$.

-- Mon Dec 27, 2010 15:34:27 --

ewert в сообщении #392323 писал(а):

надо показать, что оценка сверху достигается

это неверно

[ewert]

moscwicz в сообщении #392322 писал(а):

это неверно

тогда уж, между прочим, и поточечной сходимости недостаточно

[moscwicz]

разумеется, только это пусть додумывает топикстартер

[BapuK]

Рассмотреть последовательность функций

$$y_n = \left\{\begin{array}{1} -1,\,\, x \in [0, 1 - \frac{1}{n}] \\ n(x - 1),\,\, x \in (1 - \frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}) \\ 1,\,\, x \in [1 + \frac{1}{n}, 2] \end{array} \right$$

будет достаточно?

-- Пн дек 27, 2010 23:02:07 --

показываем, что $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} F(y_n) = 1$, и в силу того, что $\|y_n\| = 1$ и $\|F\| \leq 1$, получаем, что $\|F\| = 1$, правильно же? а то в первый раз решаю такого рода задачу